Найти все составные натуральные числа, у которых сумма десятичных цифр равна наибольшему собственному делителю.

задан 29 Авг '17 11:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%n$% -- десятичное $%k$%-значное число; $%S(n)$% -- его сумма цифр. По условию, $%S(n)=\frac{n}p$%, где $%p$% -- наименьший простой делитель $%n$%. Поскольку $%n$% составное, имеет место неравенство $%p\le\sqrt{n}$%. Отсюда $%S(n)\ge\sqrt{n}$%.

Очевидно, что $%k\ne1$%, так как сумма цифр не равна самому числу. Ясно, что $%S(n)\le9k$%, и при этом $%n\ge10^{k-1}$%. Поэтому имеет место неравенство $%81k^2\ge10^{k-1}$%. Отсюда легко выводится, что $%2\le k\le4$%.

Здесь возможна прямая компьютерная проверка, дающая два числа: 18 и 27. Сумма цифр равна 9, и это наибольший собственный делитель. Можно также показать, что случай 4-значного числа невозможен. Действительно, сумма цифр не больше 36, и тогда $%n\le S(n)^2\le1296$%. Значит, сумма цифр не больше $%28$%, а тогда $%n\le28^2 < 1000$%.

Наверное, тут возможны и какие-то дополнительные "ухищрения". Например, если число двузначно, то $%10a+b$% делится на $%a+b$%, откуда $%9a$% кратно $%a+b$%. Тогда $%a+b$% должно делиться на 3: в противном случае $%a$% делилось бы на $%a+b$%, что невозможно. Это сокращает число перебираемых вариантов: наименьший простой делитель числа становится равен 2 или 3. Но для каких-то вариантов всё равно потребуется перебор. Типа того, что надо проверять суммы цифр чисел типа 289 или 529, чтобы это случайно не оказалось 17 или 23. Поскольку "идейно" тут всё понятно, я дальнейшие рассуждения не проводил.

ссылка

отвечен 29 Авг '17 19:21

@falcao, большое спасибо!

(29 Авг '17 23:25) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×211
×150
×128

задан
29 Авг '17 11:25

показан
337 раз

обновлен
29 Авг '17 23:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru