Число 10 примечательно, помимо всего прочего, тем, что значение выражения $$\dfrac{10^k+2}{3}$$ равно некоторому составному числу при любом натуральном $%k$%. Между прочим, 10 - наименьшее натуральное число с вышеописанным свойством.

А существует ли такое натуральное $%n$%, что $$\dfrac{n^k+1}{2}$$ равно некоторому составному числу при любом натуральном $%k$%?

задан 29 Авг '17 23:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Конечно, существует. Положим $%n=27$%. Тогда $%n^k+1=3^{3k}+1=(3^k+1)(3^{2k}-3^k+1)$%. При этом $%\frac{n^k+1}2=\frac{3^k+1}2\cdot(3^{2k}-3^k+1)$%, где при $%k\ge1$% оба сомножителя больше единицы.

Таких примеров много: можно брать в качестве $%n$% числа типа $%243$%, $%125$%, и прочие степени с нечётными показателями.

А вот более интересный пример: $%n=31$%. Проверка на компьютере достаточно большого числа значений $%k$% всё время даёт составные числа. Интерес представляют в первую очередь значения $%k$%, равные степеням двойки -- в противном случае всё очевидно. В настоящее время имеются эффективные алгоритмы проверки "очень больших" чисел на простоту -- без явного разложения на множители, или даже нахождения нетривиального делителя. Введём обозначение $%f_m=\frac12(31^{2^m}+1)$% (навеяно простыми числами Ферма). Можно проверить, что $%f_{10}$% делится на $%114689$%, а $%f_9$% делится на $%25601$%. А вот число $%f_8$% хотя заведомо не простое (что демонстрирует "неявный" алгоритм), но поиск делителя происходит очень долго (у меня уже иссякло терпение его в явном виде найти -- вплоть до 372293, ничего не было обнаружено).

При $%m\le10$% числа $%f_m$% все составные, а в общем случае ответа я не знаю. Уже при $%m=11$5 проверка малость "застряла". Интересно, что на oeis эту последовательность (с учётом разных вариаций) обнаружить не удалось.

ссылка

отвечен 30 Авг '17 0:27

@falcao, большое спасибо!

(30 Авг '17 0:32) Аллочка Шакед
1

Число f_{11} также составное -- Maple на его предмет в итоге дал ответ. Про f_{12} всё ещё размышляет. Что касается Вольфрама, то он уже на 11-м числе ответа не дал.

(30 Авг '17 1:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×211
×150
×128

задан
29 Авг '17 23:27

показан
446 раз

обновлен
30 Авг '17 1:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru