Пусть a и b цифры от 1 до 9. Доказать , что a00 ... 0b не есть точный квадрат.

задан 30 Авг '17 18:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Подразумевается, что между $%a$% и $%b$% есть хотя бы один ноль.

Последняя цифра точного квадрата не равна 2, 3, 7, 8. Если $%b=5$%, то перед ней находится 2. Если квадрат оканчивается на $%b=6$%, то само число имеет вид $%10k\pm4$%, и после возведения в квадрат предпоследняя цифра оказывается нечётной. Значит, b=1, 4, 9, то есть $%b=c^2$%, где c=1, 2, 3.

По условию, $%n^2-c^2=(n-c)(n+c)=a10^m$%, где $%m\ge2$%. Числа $%n\pm c$% имеют одинаковую чётность, поэтому они оба чётны. На 5 делится ровно одно из них, так как разность $%2c$% не кратна 5. Значит, один сомножитель, который делится на 5, делится и на $%5^m$%, и он не меньше $%2\cdot5^m$%. Второй сомножитель не больше $%a2^{m-1}$%. Тогда разность двух этих чисел, которая не должна превосходить $%2c$%, получается не меньше, чем $%10\cdot5^{m-1}-a2^{m-1} > 10(5^{m-1}-2^{m-1})\ge30$%, что невозможно.

ссылка

отвечен 31 Авг '17 19:03

@falcao, спасибо, замечаний по решению нет. У меня был небольшой "заусенец" в решении, я ограничился разбором случая (n - c)(n + c) = 10**m , забыв про букву a .

На худой конец, можно было тупо перебрать все девять вариантов...

(31 Авг '17 22:20) kipot_l
1

@kipot_l: Вам спасибо за очередную интересную задачу.

Я поначалу думал решать другим способом, анализируя не с конца записи числа, а сначала. Идея была в использовании теоремы Лиувилля (для частного случая) -- о том, что квадратные корни "плохо" приближаются рациональными числами. Но это и сложновато, и непонятно, как доводить до конца. Потом я выбрал другой путь.

(31 Авг '17 23:22) falcao

@falcao, "удивительно то, что у кошки в шкуре прорезаны две дырочки именно там, где у неё находятся глаза"! Шесть цифр выпадает по остаткам, и остаются именно 1, 4, 9...

Поразмышлять над другими решениями интересно, но шансов мало... Я тоже потратил некоторое время на это.

(1 Сен '17 11:56) kipot_l

@kipot_l: да, я тоже воспринял этот факт насчёт "абсолютных" точных квадратов в виде цифр как нечто удивительное. И, скорее всего, "авторское" решение именно на это и опиралось.

(1 Сен '17 15:38) falcao

@falcao, кстати, для 20 ... 0b, 50 ...0b, 80 ... 0b проходит решение только по остаткам (!).

(1 Сен '17 16:07) kipot_l

@kipot_l: в каком смысле? Чем 2 в начале существенно отличается от, например, 3 или 7?

(1 Сен '17 16:36) falcao
1

@falcao, остаток от деления на 3 правильный!

Пусть 20 ... 0b = a*2

Число a*2 при делении на 3 даёт остатки 0 и 1 . Поэтому b ǂ 3, 6, 9 .

Число a*2 при делении на 5 даёт остатки 0, 1 и 4 . Поэтому b ǂ 2, /3/, 7, 8 .

Если число a*2 делится на 3, то оно делится и на 9. Поэтому b ǂ 1, 4 .

Если число a*2 делится на 5, то оно делится и на 25. Поэтому b ǂ 5 .

Рассуждение проходит и для чисел 50 … 0b, 80 … 0b .

(1 Сен '17 21:51) kipot_l

@kipot_l: теперь мысль полностью ясна.

(1 Сен '17 22:29) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×216
×207
×17

задан
30 Авг '17 18:44

показан
383 раза

обновлен
1 Сен '17 22:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru