Доказать, что $%w=f(z)=(z-\alpha)/(1-\overline \alpha z), |\alpha | < 1$% взаимно однозначно отображает единичный диск на себя. (Группа автоморфизмов единичного диска предполагается неизвестной)

Можно ли поступить так: доказать, что $%|(z-\alpha)/(1-\overline \alpha z)|<1$% при $%|z|<1, |\alpha|<1$% и сказать, что отсюда следует, что $%\{|z|<1\}$% отображается в $%\{|w|<1\}$% биективно, т.к. дробно-линейные преобразования биективны? Или надо добавить еще какие-то слова? (Может, про границу надо что-то сказать, или нет?)

задан 30 Авг '17 19:06

изменен 30 Авг '17 23:48

А где здесь дробно-линейное преобразование?

С условием тут что-то, наверное, не так, потому что если alpha=0, то получается f(z)=az, где про a ничего не известно. Единичный диск при этом может меняться в размерах.

(30 Авг '17 19:50) falcao

Условие исправил. А дробно-линейное преобразование вот: z \mapsto (az+b)/(cz+d), где a=1, b=-\alpha, c=-\bar{\alpha}, d=1

(30 Авг '17 19:58) Slater

@Slater, в комментарии у Вас есть дробь, а в условии - нет...

(30 Авг '17 22:23) all_exist

@Slater: пусть z=-1, alpha=1/2. Тогда f(z)=-9/4. Дробно-линейного преобразования я тут никак не просматриваю, потому что в формуле для f(z) нет операции деления.

(30 Авг '17 22:26) falcao

Ну да, дробь надо добавить.

(30 Авг '17 23:50) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. "Лекции по ТФКП", Стр. 286, пример 3 (с доказательством) ...

ссылка

отвечен 30 Авг '17 22:52

@all_exist: остаётся объяснить, как этот пример из книжки трансформировался в то, что написано здесь в условии :) Частное стало произведением, а экспоненту отбросили за ненадобностью :)

(30 Авг '17 23:11) falcao

Подобное доказательство через принцип симметрии я видел, в данном случае задача же проще делается

(30 Авг '17 23:50) Slater

@falcao, то, что написано здесь в условии :) - вангую опечатку... впрочем её уже исправили...

а экспоненту отбросили за ненадобностью :) - частный случай... здесь же не просят получить общий вид таких отображений...

@Slater, Подобное доказательство через принцип симметрии я видел, в данном случае задача же проще делается - Вам не нужны первые абзацы этого решения... отображение Вам уже дано...

(31 Авг '17 6:11) all_exist

Остаётся из решения взять только выкладки (убрав константу $%A$%), в которых показано, что граница переходит в границу ... и сказать, что какая-нибудь внутренняя точка круга $%z$% переходит во внутреннюю точку $%w$%...

(31 Авг '17 6:11) all_exist

@all_exist: у меня тоже в конечном счёте возникло ощущение, что тут достаточно нескольких простых проверок. Смотрим на границу круга. Из условия |z|=1 сразу следует, что модули числителя и знаменателя равны. Берём точку 0; она переходит внутрь круга. Значит, круг отображается в круг. Биективность выводим или из общих соображений, или напрямую решаем уравнение f(z)=w относительно z.

(31 Авг '17 16:01) falcao

@falcao, ну, я про это и написал выше... )))

(31 Авг '17 21:27) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
30 Авг '17 19:06

показан
312 раз

обновлен
31 Авг '17 21:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru