Скажем, даны следующие данные для треугольника, к примеру:

  1. $%a, \angle A, r$% - где $%r$% - радиус вписанной окружности.
  2. $%a, \angle A, S$%
  3. $%a, \angle A, m_a$% , где $%m_a$% - медиана к стороне $%a$%

Во всех случаях требуется найти стороны $%b$% и $%c$%.

Здесь везде чтобы посчитать эти стороны можно выразить $%a+b$% и $%ab$% из подходящих формул (например, из теоремы косинусов и известной формулы для медианы к стороне $%a$% для номера 3), а дальше воспользоваться обратной теоремой Виета - получим некоторое кв. уравнение из которого находятся $%b$% и $%c$%.

Вопрос вот в чем. Положительность дискриминанта полученного кв. уравнения - это достаточное условие того, что треугольник с данными параметрами действительно существует?

Скажем, описанным образом чисто алгебраически мы нашли значения для $%b$% и $%c$%. Обязательно ли существует треугольник с данными параметрами и полученными выражениями для искомых сторон? Или могут быть "лишние решения"?

Это, наверно, отдельный вопрос, но он связан с предыдущим, так что задам тут же.

Вот еще к примеру: даны $%a,b, \angle A$%. Требуется найти $%c$%.

Запишем теорему косинусов. При данных $%a, b, \angle A$% выражение теор. кос. можно рассматривать как кв. уравнение относительно $%c$%. При этом $%D/4 = a^2-b^2\sin(\angle A)$%. Рассмотрим случай $%a>b$%. При этом дискриминант положителен $%\Rightarrow$% имеем два значения для $%c$%. Но, геометрически: если известны стороны $%AC$% и $%BC$% треугольника $%ABC$% и угол $%A$%, то вершина $%B$% лежит, с одной стороны, на прямой, образующей угол $%A$% с прямой $%AC$%, а с другой - на окружности радиуса $%a$% с центром в точке $%C$%. И для рассматриваемого случая $%a>b$% прямая $%AB$% пересекает окружность лишь в одной точке. То есть, имеем лишь одно решение. Поправьте, если ошибаюсь.

Получается, теорема косинусов не "проворачивается" в обратную сторону? То есть, она верна для любого треугольника со сторонами $%a,b,c$% и углом $%A$%, но если некоторые числа $%x, y, z, X$% удовлетворяют равенству $%x^2=y^2+z^2-2yz\cos X$%, то отсюда не следует, что треугольник со сторонами $%x,y,z$% и углом $%X$% непременно существует?

задан 3 Сен '17 0:46

@MathAsk, Вы же про первую и третью задачу спрашивали недавно...

(3 Сен '17 16:45) all_exist

@all_exist: я так понял, здесь имелось в виду не решение этих же задач, а некий "мета-вопрос", поднятый на их основе.

(3 Сен '17 16:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

К таким задачам можно подходить с точки зрения построения. Тогда все условия получаются сами собой.

Вот, например, последняя из задач. Строим угол A, отмеряем от вершины длину b, получая отрезок AC. Надо найти положение точки B на другой стороне угла. Мы знаем, что CB=a, поэтому строим окружность с центром C радиусом a. Она может не пересекать луч -- тогда решений нет. Может пересекать луч в одной точке, а может и в двух.

Рассмотрим для начала случай острого угла A. Тогда расстояние от точки C как до луча AB, так и до прямой AB, равно b cos(A). Если a меньше этого расстояния, то решений нет. Если равно, то решение одно, и B -- вершина прямого угла. Будем далее увеличивать радиус окружности. Понятно, что при b cos(A) < a < b точек пересечения с лучом будет две. При b>=a подходящая для вершины B точка будет ровно одна.

Теперь пусть A -- прямой или тупой. Здесь расстояние от C до луча AB равно b, поэтому решение будет при a > b, и в точности одно.

Теперь сравним с тем, что даёт теорема косинусов. Уравнение относительно c имеет вид c^2-2bc cos(A)+b^2-a^2=0. При a > b корней всегда два, но их произведение, в силу теоремы Виета, отрицательно. Поэтому один из корней в качестве c не подходит.

В общем случае алгебраический анализ всегда что-то даёт, но даже если мы учтём дискриминант и положительность значений длин, существование построения всё равно придётся как-то обосновывать. Поэтому лучше сразу начинать с построения, а вычислительную часть использовать в дополнение.

ссылка

отвечен 3 Сен '17 2:41

@falcao огромное спасибо!

(3 Сен '17 14:35) MathAsk
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,920

задан
3 Сен '17 0:46

показан
269 раз

обновлен
3 Сен '17 16:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru