Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC, точка K - на стороне BC, AM :MB=3:5, BK :KC=2:1. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O . Найдите отношения AO:OK и S(OMBK):S(ABC).

задан 3 Сен '17 9:13

10|600 символов нужно символов осталось
1

Такие задачи легко решаются при помощи теорем Чевы и Ван-Обеля. Проводим третий отрезок BL через точку O, где L лежит на стороне AC. По теореме Чевы, (AM:MB)(BK:KC)(CL:LA)=1. Отсюда AL:LC=6:5. Теорема Ван-Обеля позволяет найти AO:OK, сложив два отношения AM:MB и AL:LC, что даёт 9:5.

Можно этих теорем и не применять. Тогда достаточно провести через K прямую, параллельную CM, до пересечения с MB в точке N. Отношение AM:MB равно 3:5. Удобно положить AM=9x, MB=15x (чтобы второй коэффициент делился на 3). Тогда точка N делит отрезок MB в отношении CK:KB=1:2. Отсюда MN=5x, NB=10x. Следовательно, AM:MN=9:5, но это отношение равно AO:OB, из соображений подобия треугольников.

При помощи примерно таких построений можно доказать и сформулированные выше теоремы.

Теперь о площадях. Пусть S -- площадь ABC. Очевидно, что ACK имеет площадь S/3 (отношение оснований CK:CB при общей высоте). Далее, OCK составляет 5/(5+9) от площади BCK, то есть получается 5S/42. Площадь CAM равна 3S/8 из тех же соображений, что и выше. Отрезая от ABC два треугольника, получим четырёхугольник OMBK. Поэтому его площадь равна S-5S/42-3S/8=85S/168. Отношение площадей равно 85/168: это чуть-чуть превышает 1/2.

При решении задач такого типа нужно в первую очередь усваивать приёмы. Их не так много, но с их помощью всё можно бывает сделать.

ссылка

отвечен 4 Сен '17 1:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
3 Сен '17 9:13

показан
1268 раз

обновлен
4 Сен '17 1:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru