Каково минимальное целое число вида 111...11, делящееся на 777...77 (100 семёрок)?

задан 3 Сен '17 17:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\frac{10^n-1}9$% делится на $%7\cdot\frac{10^{100}-1}9$%

$%10^n-1$% делится на $%7(10^{100}-1)$%

Число $%10^{100}$% по модулю 7 сравнимо с $%3^{100}\equiv3^4\equiv4\pmod7$% с учётом малой теоремы Ферма. Значит, $%7$% и $%10^{100}-1$% взаимно просты. Делимость на оба числа можно рассматривать по отдельности.

Ясно, что $%10^6-1=999\cdot1001$% делится на 7, причём показатель 6 -- наименьший натуральный с таким свойством. Отсюда легко вывести, что $%10^n-1$% делится на 7 тогда и только тогда, когда $%n$% делится на 6 (достаточно разделить с остатком $%n$% на 6).

Далее, если $%10^n-1$% делится на $%10^{100}-1$%, то $%n$% делится на 100 (обратное также верно). Доказывается так же точно, через деление $%n$% на 100 с остатком. В итоге получаем, что $%n$% делится на 6 и на 100. Наименьшее такое $%n$% равно $%300$%.

ссылка

отвечен 3 Сен '17 17:26

(3 Сен '17 17:29) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×211
×150
×128

задан
3 Сен '17 17:00

показан
379 раз

обновлен
3 Сен '17 17:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru