$%\phi(x,y)=2(xy)^2+x^4+2y^4+x-5y+2xy$%

Найти какое-нибудь $%R$%, такое что $%\phi(x,y)\ge 1$% при $%x^2+y^2\ge R$%

задан 3 Сен '17 20:42

изменен 3 Сен '17 20:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предложу немного другой подход. Переведём выражение в полярные координаты. (Через $%\phi$% я традиционно обозначу угол.) Получится $%r^4(\cos^4\phi+2\sin^4\phi+2\cos^2\phi\sin^2\phi)+S$%, где остаточный член $%S$% равен $%r(\cos\phi-5\sin\phi)+2r^2\cos\phi\sin\phi$%.

Заметим, что коэффициент при $%r^4$% равен $%1+\sin^4\phi\ge1$%. Ясно, что при больших $%r$%, величина остаточного члена есть $%o(r^4)$%. Оценим по модулю этот член достаточно грубо, заменяя везде модули косинусов и синусов на единицу: $%|S|\le2r^2+6r\le8r^2$% при $%r\ge1$%.

Теперь ясно, что выражение из условия будет не меньше $%r^4-|S|\ge r^2(r^2-8)$%, и тогда достаточно будет неравенства $%r\ge3$%.

Я так понимаю, что точная оценка здесь не нужна, а требуется какая-нибудь явная, но легко получаемая.

ссылка

отвечен 4 Сен '17 1:37

А при чем тут замечание про o(r^4) и существенно ли оно? (Я с этой терминологией не сильно знаком - вроде бы это означает, что S/r^4->0, но к чему это, и почему это не равно o(r^3), например, неясно)

И в итоге в качестве большого R можно взять, например, r^3=9

(4 Сен '17 2:19) curl

@curl: замечание призвано было обратить внимание на тот факт, что величина S мала по сравнению с первым членом (смысл о-символики здесь такой, как Вы сказали). Это значит, что всё как бы "управляется" первым членом. Но само замечание можно игнорировать, так как дальше идёт прямая оценка.

В качестве R заведомо подходит r^2=9.

(4 Сен '17 2:27) falcao

А почему оценка модуля данной функции и оценка просто данной функции - одно и то же? (Здесь же модуль оценивается?)

(4 Сен '17 4:00) curl

Это следует из неравенства S>=-|S|. Поэтому R+S>=R-|S|, где R -- первый член.

(4 Сен '17 9:42) falcao

Т.е. неравенство треугольника здесь не применяется?

(4 Сен '17 19:12) curl

@curl: неравенство треугольника можно было бы искусственно применить, но я обхожусь без него. Очевидного неравенства S>=-|S| здесь достаточно, и оно всё заменяет.

(4 Сен '17 20:55) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если рассмотреть поверхность $$ z=x^2+2y^2+x−5y+2xy, $$ то нетрудно проверить, что это эллиптический параболоид ... приведя его к каноническому виду можно найти $%R_1$%, при котором $%z \ge 1$%...

Теперь смотрим на неравенство $%\phi \ge z$%, которое принимает вид $$ 2(xy)^2+x^4+2y^4 \ge x^2+2y^2. $$ После замены $%x^2=\xi,\;y^2=\eta$% получается неравенство, решением которого является внешность некоторого эллипса... касательную вида $%\xi+\eta =R_2$% можно найти...

затем выбрать $%R=\max\{R_1;R_2\}$% ...

ссылка

отвечен 3 Сен '17 21:17

Непонятно.. Чем мотивировано рассмотрение именно такого параболоида? (Почему коэффициент перед $%y^2$% равен $%2$%, а не $%1$%, например?)

$%z=(x+y+1/2)^2+(y-3)^2-37/4$%. Как найти $%R_1$%?

Неравенство имеет вид $%(\xi+\eta-1/2)^2+(\eta-1/2)^2-1/2\ge 0$%, при чем тут касательная? Как найти $%R_2$%?..

(3 Сен '17 22:50) curl

@curl, Чем мотивировано рассмотрение именно такого параболоида? - просто по аналогии с исходным выражением...

Почему коэффициент перед $%y^2$% равен 2, а не 1, например?) - если взять 1, то получите параболический цилиндр...

В принципе можно брать любую поверхность, главное чтобы соответствующая квадратичная форма была положительно определённой...

(3 Сен '17 23:03) all_exist

при чем тут касательная? - во-первых, $%x^2+y^2 = R$% после замены трансформируется в уравнение прямой...

Во-вторых, внутренность эллипса является выпуклым множеством... следовательно, он целиком лежит с одной стороны от касательной...

(3 Сен '17 23:08) all_exist

Как найти $%R_1$%?.. - взять $%z=1$% и найти точку, наиболее удалённую от начала координат... квадрат этого расстояния и будет $%R_1$%...

Как найти $%R_2$%?.. - ну, надо искать указанное уравнение касательной... найти градиент... использовать то, что он должен быть параллелен вектору $%(1;1)$%... и так далее...

(3 Сен '17 23:13) all_exist

А если в курсе, к которому эта задача, не предполагается знаний градиента (и даже производной), то есть ли более простой способ?

(3 Сен '17 23:23) curl

@curl, тег "математический анализ" и рассмотрение функций двух переменных подразумевает знание градиента... метода множителей Лагранжа... и прочего...

есть ли более простой способ? - наверное есть... но я написал тот способ, который сразу пришёл в голову...

(3 Сен '17 23:38) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,613

задан
3 Сен '17 20:42

показан
401 раз

обновлен
4 Сен '17 20:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru