$$z^x+1=(z+1)^y$$

задан 3 Сен '17 21:01

Общий план решения у меня есть, но надо продумать кое-какие детали, чтобы было не слишком длинно. Завтра попробую изложить.

(4 Сен '17 2:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Можно отметить, что это частный случай проблемы Каталана, которая была успешно решена в начале XXI века.

Будем рассматривать случай $%x,y,z\ge2$%, поскольку остальные решения $%(x,y,z)$% выписываются тривиально: это $%(1,1,z)$%, $%(x,1,1)$%. Рассматривая уравнение по модулю $%z+1$%, замечаем, что $%x$% нечётно, так как левая часть сравнима с $%(-1)^x+1$% по этому модулю, и она не может равняться двум.

Следующий шаг: доказываем, что $%x$% делится на $%z+1$%. Отсюда будет следовать, что $%z$% чётно. Рассматриваем равенство $%(z+1)^y=((z+1)-1)^x+1$% и применяем биномиальную формулу. Слагаемые $%-1$% и $%1$% сокращаются; остаётся $%C_x^1(z+1)-C_x^2(z+1)^2+\cdots$%, что делится на $%(z+1)^2$% ввиду $%y\ge2$%. Тогда первое слагаемое, равное $%x(z+1)$%, должно также на него делиться, откуда следует нужный нам вывод.

Положим $%x=(z+1)k$%, где $%k$% нечётно. При этом $%(z+1)^y=z^x+1$% делится на $%z^{z+1}+1$%. Последнее выражение снова запишем как $%((z+1)-1)^{z+1}+1$%, и по биномиальной формуле это будет $%C_{z+1}^1(z+1)-C_{z+1}^2(z+1)^2+C_{z+1}^3(z+1)^3-\cdots=(z+1)^2(1-(z+1)\frac{z}2+C_{z+1}^3(z+1)-\cdots)$%.

Утверждается, что выражение в скобках равно единице. В самом деле, если это не так, то оно делится на некоторое простое $%p$%. На него же делится степень $%z+1$%, а потому и само это число. Но тогда видно, что все слагаемые, кроме начальной единицы, делятся как на $%z+1$%, так и на $%p$%, что приводит к противоречию. (Здесь была важна чётность $%z$%, как легко заметить.)

Таким образом, $%z^{z+1}+1=(z+1)^2$%, то есть $%z^z=z+2$%. Отсюда ясно, что $%z=2$%. Уравнение $%2^x+1=3^y$% анализируется несложно: правая часть даёт в остатке 1 при делении на 4, и $%y$% чётно. Значит, $%2^x=(3^{y/2}-1)(3^{y/2}+1)$%. Оба сомножителя суть степени двойки, отличающиеся на 2, то есть это 2 и 4. Отсюда $%y=2$%, $%x=3$%, и решение $%(3,2,2)$%.

ссылка

отвечен 6 Сен '17 15:57

Красиво. Спасибо! Многоходовое решение...

(7 Сен '17 14:05) make78

@make78: мне тоже понравилась эта задача. Я её "обкатывал" с разных сторон, и изначальное решение было длиннее. В частности, оно дважды использовало один и тот же приём разложения по биномиальной формуле. Это делалось с (z+1)^y с установлением факта делимости y на z и так далее. Но потом я осознал, что эти элементы лишние.

(7 Сен '17 15:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×878

задан
3 Сен '17 21:01

показан
313 раз

обновлен
7 Сен '17 15:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru