Определим порядок на множестве рациональных функций как здесь https://math.stackexchange.com/a/1920176/333743

Как доказать

1) $% x < y , y < z \implies x< z$%

2) $%y< z\implies x+y< x+z$%

задан 4 Сен '17 5:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%P$% -- множество положительных рациональных функций. Это такие функции вида $%\frac{f(x)}{g(x)}$%, где старшие коэффициенты многочленов $%f$% и $%g$% имеют один и тот же знак. Если домножить числитель и знаменатель на один и тот же многочлен, то данное свойство сохраняется. Поэтому, если нам даны два положительных многочлена, то можно считать, что знаменатели у них одинаковые. Также, меняя знак, можно добиться положительности старшего коэффициента знаменателя.

Из сказанного легко следует, что $%P$% замкнуто относительно сложения и умножения. По первому: знаменатели считаем одинаковыми, с положительными старшими коэффициентами. Числители при этом складываются. У обоих из них старшие коэффициенты положительны. Тогда старший коэффициент суммы также положителен -- как в случае совпадения степеней, так и в случае несовпадения.

По второму: старшие коэффициенты числителей и знаменателей перемножаются, и получается положительность.

Помимо всего прочего, множество всех рациональных функций разбивается в дизъюнктное объединение множеств $%P$%, $%-P$% и $%\{0\}$%.

При этих условиях определяем отношение $%x < y$%, что означает $%y-x\in P$%. Оно антирефлексивно, что очевидно, и транзитивно, что следует из замкнутости $%P$% относительно сложения и условия $%z-x=(z-y)+(y-x)$%. То есть это строгий частичный порядок. Он линеен, так как выполнено условие из предыдущего абзаца.

Стабильность порядка относительно сложения следует из того, что $%(y+z)-(x+z)=y-x$%. Стабильность относительно умножения на положительный элемент следует из того, что если $%x < y$% и $%0 < z$%, то $%yz-xz=(y-x)z\in P$% ввиду замкнутости $%P$% относительно умножения.

ссылка

отвечен 4 Сен '17 9:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×460

задан
4 Сен '17 5:18

показан
236 раз

обновлен
4 Сен '17 9:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru