Отрезок BM - медиана треугольника ABC. Биссектрисы углов AMB и CMB пересекают стороны AB и BC в точках D и E соответственно. Прямая DE пересекает медиану BM в точке P, при этом BP=1, PM=3. а) Найдите длину отрезка DE. б) Известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.

задан 4 Сен '17 7:09

10|600 символов нужно символов осталось
1

Применим дважды свойство биссектрисы, получая BD:DA=BM:AM=BM:CM=BE:EC. Отсюда следует, что прямые DE и AC параллельны. Тогда из соображений подобия треугольников получается, что рассмотренное выше отношение также равно BP:PM=1:3. Поскольку BM=4, это даёт AM=MC=12, то есть AC=24. Далее, DE:AC=BP:BM=1:(1+3)=1/4, откуда DE=6. Это ответ на вопрос пункта а).

Для пункта б) получается вписанная трапеция ADEC. Она является равнобочной, и тогда AD=CE, откуда BD=BE, и треугольник является равнобедренным с осью симметрии BM. Легко видеть, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит ниже прямой AC. Пусть x -- расстояние от центра до этой прямой. Применим два раза теорему Пифагора. Это даст уравнения R^2=x^2+12^2 и R^2=(x+3)^2+3^2, где R -- радиус. Вычитая из второго уравнения первое, получаем линейное относительно x уравнение, которое даёт x=21. Тогда R^2=21^2+12^2=3^2(7^2+4^2), и получается R=3sqrt(65) для пункта б).

ссылка

отвечен 4 Сен '17 21:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
4 Сен '17 7:09

показан
1811 раз

обновлен
4 Сен '17 21:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru