Является ли дифференцируемой в точке O(0,0) функция $$f(x,y)= \sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$$

задан 4 Сен '17 15:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

По определению, функция дифференцируема в нуле, если существуют такие числа $%A$%, $%B$%, для которых $%f(x,y)=f(0,0)+Ax+By+o(r)$%, где $%r=\sqrt{x^2+y^2}\to0$%. Предположим, что здесь это так, и попытаемся прийти к противоречию.

Ясно, что $%f(0,0)=0$%, поэтому $%f(x,y)=Ax+By+o(r)$%. Положим $%y=0$%, и пусть $%x\to0$%. Тогда $%f(x,0)=x=Ax+o(x)$%. Деля на $%x\ne0$% и переходя к пределу при $%x\to0$%, имеем $%1=A+o(1)$%, то есть $%A=1$%. Из соображений симметрии, $%B=1$%.

Теперь подставим $%y=x\to0$%. Здесь получится $%\sqrt[3]2x=(A+B)x+o(x)$%, откуда $%A+B=\sqrt[3]2$%. Но это не так, поскольку мы знаем, что $%A+B=2$%. Противоречие.

ссылка

отвечен 4 Сен '17 17:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,600
×102

задан
4 Сен '17 15:36

показан
479 раз

обновлен
4 Сен '17 17:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru