Шестёрка различных взаимно простых в совокупности целых чисел называется квадратной, если при любом разбиении её на две тройки сумма чисел в одной из троек - точный квадрат. Докажите, что существует бесконечно много квадратных шестёрок. (Н. Агаханов, И. Богданов)

Если под целыми числами авторы имели в виду не обязательно положительные числа, то задача решается легко. Любая шестёрка вида $$(1, -1, 4n^2, -4n^2, 4n^4, -4n^4)$$, где $%n$% - целое число, большее 1, удовлетворяет условию задачи.

Однако интуиция подсказывает мне, что должно существовать решение и для натуральных чисел. Пожалуйста, помогите решить.

Зарангеш благодарю!

задан 4 Сен '17 16:30

10|600 символов нужно символов осталось
2

Попробуй первые 4 числа взять 1, 22, 41 и 58, сумма любых трёх из них дарамдаш квадрат. А дальше уже сама как-нибудь доковыляй. Кстати, коллеге твоей, Мири, которая на весь мир опозорилась тем, что Чехова не знает, привет передавай. Скажи ей, что такие министры культуры, как она, нужны Стране Парадоксов как наркоману прокладки.

ссылка

отвечен 4 Сен '17 22:18

1

А почему этот пример можно продолжить до шестёрки чисел?

(4 Сен '17 23:45) falcao

@falcao, а как это сделать? И, кстати,... Ой, пардон. Не удовлетворяет, оказывается. Мне тут зампечание сделали: [quote]Нет, не удовлетворяет. [math]$4n^4 + 4n^2 - 1$[/math] и [math]$-4n^4 - 4n^2 + 1$[/math] противоположны по знаку и не квадраты.[/quote]

(5 Сен '17 0:21) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед: набор чисел 1, 22, 41, 58 получается по некоторой общей формуле. Таких четвёрок, где сумма любых трёх есть квадрат, бесконечно много, и их можно полностью описать. Этот конкретный набор мне дополнить до шести чисел не удалось, но я не исключаю, что вдруг удастся дополнить какой-то другой "родственный".

(5 Сен '17 0:56) falcao

@falcao, Эх, знать бы эту некоторую общую формулу, но товарищ Пацнехенчик молчит как блоха на гребешке.

(5 Сен '17 1:21) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед: формула довольно несложная. Пусть a < b < c < d. Мы хотим уравнений типа a+b+c=D^2, a+b+d=C^2 и т.п. Из них можно выразить всё в обратную сторону: a=(B^2+C^2+D^2-2A^2)/3, и остальное симметрично. Конечно, числа должны получиться целые и положительные, но проследить за этим легко. Если A,B,C,D взять равными n,n+1,n+2,n+3, где n не делится на 3 и n>=8, то всё ОК. Пример выше получается для n=8. Числа, конечно, не обязательно брать последовательные. Важно лишь, чтобы удвоенный квадрат наибольшего превышал сумму квадратов трёх других.

(5 Сен '17 2:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×211
×150
×128

задан
4 Сен '17 16:30

показан
409 раз

обновлен
5 Сен '17 2:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru