найти все значения а при которых уравнение (4^х+3∙2^х+3а-а^2)(√(2-х))=0 имеет ровно два различных корня

задан 5 Сен '17 9:06

10|600 символов нужно символов осталось
1

При любом значении параметра, число $%x=2$% является решением уравнения. Все остальные решения, если они есть, удовлетворяют условию $%x < 2$%. Поэтому нам нужно, чтобы показательное уравнение $%4^x+3\cdot2^x+3a-a^2=0$% имело ровно одно решение с таким дополнительным условием.

Введём новую переменную $%y=2^x$%. Тогда у нас получится квадратное уравнение $%y^2+3y+3a-a^2=0$% относительно $%y$%, и нужно, чтобы у него было ровно одно решение, удовлетворяющее условию $%0 < y < 2^2=4$%.

Если корни есть, то по теореме Виета их произведение равно $%a(3-a)$%, а сумма равна $%-3$%. Таким свойством обладают числа $%-a$% и $%a-3$%. Значит, имеет место разложение на множители $%(y+a)(y+3-a)=0$%, что непосредственно проверяется раскрытием скобок. (Можно также решать уравнение через дискриминант.)

Теперь осталось понять, при каких значениях параметра ровно одно из чисел $%-a$%, $%a-3$% принадлежит интервалу $%(0;4)$%. Первое число принадлежит при $%a\in(-4;0)$%; второе при $%a\in(3;7)$%. Эти промежутки не пересекаются, поэтому ответом будет их объединение.

ссылка

отвечен 5 Сен '17 12:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
5 Сен '17 9:06

показан
401 раз

обновлен
5 Сен '17 12:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru