Здравствуйте! Возник такой вопрос: необходим найти матрицу A, которая удовлетворяла бы следующему условию:

Матрица из двух строк X(n) и X(n+1)=A^n*матрица из двух строк x(0) x(1), где x0 и x1 равны 1.

Как бы А легко ищется подбором, но не могу понять как доказать это для всех n, предполагаю, что необходим метод мат индукции.

Заранее спасибо!

задан 5 Сен '17 19:49

@driver: из описания не очень ясно, какому свойству должна удовлетворять матрица. Что касается матриц из чисел Фибоначчи, то известно, что если взять матрицу A=( 1 1 // 1 0 ), то её степени будут иметь вид A^n= (f_n f_{n-1} // f_{n-1} f_{n-2} ), где f_{-1}=0, f_0=1, и далее f_k=f_{k-1}+f_{k-2} при всех k>=1. Доказывается это индукцией по n, причём очень легко. Домножаем A^n на A слева или справа, и смотрим, что получится. Отсюда видим, что A^{n+1} устроена по этому же закону.

(5 Сен '17 20:08) falcao

@falcao спасибо за ответ, необходимо найти матрицу А, подставив которую, не нарушится равенство: Матрица из двух строк X(n) и X(n+1)=A^n*матрица из двух строк x(0) x(1), где x0 и x1 равны 1. Опять же, саму матрицу я нашел, как доказать, что при этой матрице равенство при любых n будет соблюдаться? У меня с мат индукцией плохо, подскажите, пожалуйста.

(5 Сен '17 20:12) driver

Может, проще с индукцией разобраться? Это не больно . И много раз ещё пригодится

(5 Сен '17 20:16) knop

@driver: тогда опишите Вашу схему точнее. Допустим, мы пока не знаем матрицу A и хотим её найти. Первое: подразумевается ли, что она имеет размер 2x2? Второе: как определяется строка X(n) при данном n? Из каких чисел она состоит? Третье: x(0) -- это то же, что x0, или это разные вещи (и то же для x(1) vs x1). То есть нужно уточнить описание, которое пока что звучит непонятно.

(5 Сен '17 20:23) falcao

@falcao да, она 2 на 2; X(n)=X(n-1)+X(n-2), n>=2; да, то же самое.

(5 Сен '17 20:28) driver

@driver: осталось понять, как заданы начальные значения, то есть строки x(0) и x(1). Проще всего будет их записать в виде двумерных векторов типа ( 7 3 ) и т.п.

(5 Сен '17 20:34) falcao

@falcao я же ранее писал, что они оба равны 1

(5 Сен '17 20:43) driver

@driver: именно это меня и смутило, почему я и попросил уточнить. Говорится о векторах, а равны они почему-то числам. Может быть, имелось в виду, что x(0)=x(1)=( 1 1 )? Но тогда зачем две одинаковые координаты? Ведь тогда для всех n оно так и останется.

(5 Сен '17 20:53) falcao

@falcao я про вектора ничего не говорил... x - это числа Фибоначчи

(5 Сен '17 20:59) driver

@driver: правильно ли тогда, что под матрицей из двух строк X(n) и X(n+1) понимается вектор-столбец из двух этих чисел Фибоначчи? Если да, то всё должно быть достаточно просто.

(5 Сен '17 21:15) falcao

@falcao да, верно

(5 Сен '17 21:19) driver
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
0

Будем для краткости изображать вектор-столбец из двух чисел в виде (u v)^T.

В условии рассматривается последовательность чисел Фибоначчи: x(0)=x(1)=1; x(n)=x(n-1)+x(n-2), n>=2. Требуется найти матрицу A размеров 2x2, для которой (x(n) x(n+1))^T=A^n(1 1)^T. Для n=0 это всегда верно.

Необходимо и достаточно потребовать, чтобы при умножении слева на A вектор-столбец (x(n) x(n+1))^T переходил в (x(n+1) x(n+2)). Обозначим матричные элементы A как (a b // c d). Тогда по правилам умножения матриц должны выполняться два равенства: x(n+1)=ax(n)+bx(n+1) и x(n+2)=cx(n)+dx(n+1). Ясно, что достаточно взять a=0, b=1, c=1, d=1 -- тогда всё будет верно по определению. Легко также заметить, что никакие другие числа здесь не подойдут.

ссылка

отвечен 5 Сен '17 21:29

@falcao это я сделал, но как доказать это для других n?

(5 Сен '17 21:35) driver

@driver: то условие, которое здесь было рассмотрено, означает, что проходит шаг индукции. Если то равенство, которое дано в условии, верно для какого-то n=k, то после домножения на A получится равенство для n=k+1. Это как бы самоочевидные вещи.

(5 Сен '17 21:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516
×416

задан
5 Сен '17 19:49

показан
723 раза

обновлен
5 Сен '17 21:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru