Из орудия ведётся стрельба по танку. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти математическое ожидание числа израсходованных снарядов до первого попадания или до израсходования снарядов, если число зарядов в боезапасе равно 20.

Я сначала подумал, что можно использовать биномиальное распределение и найти M(X)=np, но оказалось неверно. Вопрос, почему нельзя применять биномиальное распределение и как правильно решить эту задачу?

задан 6 Сен '17 12:04

1

Биномиальное распределение не имеет отношения к этой задаче. Оно получается, когда нас интересует количество успехов среди независимых испытаний. Здесь же успех всего один, после которого всё заканчивается. Это геометрическое распределение -- в данном случае "урезанное". Подробности ниже.

(6 Сен '17 14:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Случайная величина X (количество израсходованных снарядов) принимает здесь значения 1, 2, ... , n=20. Положим p=0,4 и q=1-p. Вероятность попадания с первого раза равна P(X=1)=p. Вероятность того, что мы k раз не попали, и на (k+1)-й попали, равна P(X=k+1)=q^{k}p при k=1,...,n-1. Наконец, вероятность того, что все снаряды были израсходованы, равна P(X=n)=q^{n-1}, поскольку это событие происходит в точности тогда, когда мы n-1 раз не попали (а далее то ли попали, то ли нет).

Итого матожидание дискретной с.в. вычисляется по формуле MX=P(X=1)+2P(X=2)+...+nP(X=n)=p(1+2q+3q^2+...+(n-1)q^{n-2})+nq^n. Просуммировать выражение в скобках можно при помощи производной, считая q переменной. Это даёт (q+q^2+...+q^{n-1})'=((q-q^n)/(1-q))'=(1-nq^{n-1}+(n-1)q^n)/(1-q)^2. Матожидание, соответственно, будет равно MX=(1-nq^{n-1}+(2n-1)q^n-nq^{n+1})/(1-q). Подставляя в эту формулу данные n=20, q=0,6, имеем значение 2,499..., то есть около 2,5.

Можно также без вычислений заметить, что все степени q здесь будут близки к нулю, и ими можно пренебречь. Тогда ответ будет близок к величине 1/p=2,5, а это матожидание "чистого" геометрического распределения с бесконечным числом исходов.

ссылка

отвечен 6 Сен '17 15:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,947

задан
6 Сен '17 12:04

показан
228 раз

обновлен
6 Сен '17 15:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru