Пусть $%D=\{z: |z|<1\}$%, $%D_r=\{z: |z|< r, r < 1\}$%, $%f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$% непрерывна в $%\overline D$%. Доказать, что $%\lim_{r\rightarrow 1}\int_{D_r} fdz=\int_D fdz$%

$%|\int_{D_r} f(z)dz-\int_D f(z)dz|=|\int_0^{2\pi}f(re^{it})ire^{it}dt-\int_0^{2\pi}f(e^{it})ie^{it}dt\le\int_0^ {2\pi}|rf(re^{it})-f(e^{it})|dt$%, а дальше как оценивать?

$%\int_0^ {2\pi}|rf(re^{it})-f(e^{it})|dt=\int_0^ {2\pi}|r(f(re^{it})-f(e^{it}))+f(e^{it})(r-1)|dt\le 2\pi(|r|\epsilon+|r-1|)$%

задан 6 Сен '17 20:18

изменен 6 Сен '17 20:59

По-моему, тут надо заметить, что непрерывная на круге функция равномерно непрерывна, и из этих соображений сравнивать интегральные суммы. При r достаточно близких к 1 суммы будут близкими.

(6 Сен '17 20:43) falcao

$%\pm\; r\cdot f\Big(e^{it}\Big)$%... и сгруппировать...

(6 Сен '17 20:46) all_exist

Так? (Добавил в условие) А дальше что? Неформально, правая часть стремится к 2pi*e при r->1, а более формально как записать?

(6 Сен '17 21:02) Slater

@Slater: если не переходить к интегральным суммам, а оценивать интеграл, то |r-1| умножится ещё на C (функция f ограничена). Но при r->1 мы в любом случае можем сделать сумму сколь угодно малой.

А в Вашем рассуждении с предельным переходом тоже всё получается, так как eps сколь угодно мало. В таких случаях заранее берут не eps, а eps/2, или eps/(2п) и т.п., чтобы всё формально подогнать.

(6 Сен '17 22:48) falcao

А почему, кстати, f ограничена? Про eps/2 и т.д в общем случае понятно, но если, скажем, D_r стремится к D изнутри D, т.е. если r->1, r<1, то как оценить |r-1|? (|r| просто можно вроде на 1 заменить, т.к. при r<1 |r|<1)

(7 Сен '17 0:27) Slater

@Slater: непрерывная функция всегда ограничена на компакте (в частности, на замкнутом круге). Это стандартная теорема матанализа.

Оценивать |r-1| не надо, так как мы сами выбираем r достаточно близким к 1, по природе рассуждения. Можно поэтому считать, что |r-1| < eps/(4пС), или типа того.

(7 Сен '17 3:21) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
6 Сен '17 20:18

показан
233 раза

обновлен
7 Сен '17 3:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru