Как доказать неравенство $%\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2,$% при $%n \geqslant 2 ?$%

задан 7 Сен '17 21:45

изменен 7 Сен '17 21:56

Mather's gravatar image


3.2k17

10|600 символов нужно символов осталось
0

Используя бином Ньютона, получим $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{1}{n^2} + \ldots + \frac{1}{n^n} >2.$$

ссылка

отвечен 7 Сен '17 21:59

@Mather а можно ли это как-то сделать через неравенство Якоба Бернулли?

(7 Сен '17 22:03) driver

Неравенство Бернулли обеспечивает лишь нестрогое неравенство.

(7 Сен '17 22:47) Mather

@Mather так оно мне и нужно

(7 Сен '17 22:53) driver

Если требуется доказательство с использованием неравенства Бернулли $%(1+x)^n\geqslant 1 + nx,$% то достаточно в неравенстве Бернулли положить $%x=\frac{1}{n}.$%

(7 Сен '17 23:15) Mather

Если знать, когда неравенство Бернулли превращается в равенство, то все получится именно со строгим знаком неравенства.

(7 Сен '17 23:18) Амфибрахий

спасибо всем за ответы!

(7 Сен '17 23:23) driver

@driver: при помощи неравенства Бернулли можно доказать более сильный факт: возрастание последовательности (1+1/n)^n. Тогда все члены этой последовательности при n>=2 будут больше первого.

(8 Сен '17 1:16) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×460

задан
7 Сен '17 21:45

показан
535 раз

обновлен
8 Сен '17 1:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru