(-4+3i)^(1/5)=z Нужно найти значения корня. Казалось бы элементарно, в формулу подставить и все... Но новый преподаватель меня озадачил, он решал это с помощью показательной формы комплексного числа. Нашел abs(z). Потом на графике определил одно значение угла:(pi-arctg(3/4))/5. А как искать остальные четыре значения, если продолжать решать этим же способом?

........................................................

Просто хочется понять суть этого метода. Если кто-то сейчас не очень занят, намекните пожалуйста.

задан 8 Сен '17 18:33

изменен 8 Сен '17 18:36

Тот же самый угол на графикк можно записать еще как 3pi-arctg(3/4), 5pi-arctg(3/4), 7pi-arctg(3/4) и 9pi-arctg(3/4). Если теперь эти углы поделить на 5, то получаются разные углы.

(8 Сен '17 18:54) knop

@Стас001: корни n-й степени из комплексного (ненулевого) числа всегда лежат в вершинах правильного n-угольника. Поэтому достаточно найти по формуле один из них, а остальные достраиваются однозначно. К значению угла ф0 нужно несколько раз прибавить 2п/n.

(8 Сен '17 19:22) falcao

@knop Но там же пять решений должно быть, по основной теореме алгебры? А угла всего 4 выходит...

(8 Сен '17 19:35) Стас001

@falcao А почему угла всего 4 угла, если чисел (по идее) 5 должно получиться?

(8 Сен '17 19:37) Стас001

@Стас001: значений угла всего 5. Вы назвали одно, а @knop добавил к ним ещё 4.

(8 Сен '17 22:41) falcao

@falcao Аааа, точно, уработался наверное) Спасибо.

(9 Сен '17 18:17) Стас001
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ (-4+3i)^{1/5}=z \quad\Rightarrow\quad -4+3i=z^5 $$ $$ -4+3i=5\cdot e^{i\cdot \alpha}, \quad\text{где}\quad \alpha=\pi - \text{arctg}\frac{3}{4} $$ Пусть $%z=r\cdot e^{i\cdot \varphi}$%, тогда из уравнения получаем, что $$ 5\cdot e^{i\cdot \alpha}=r^5\cdot e^{i\cdot 5\cdot \varphi} $$ Вспоминая о равенстве комплексных чисел в показательной форме записи (модули совпадают, а аргументы могут отличаться на полный оборот), получаем действительнозначную систему $$ r^5=5, \quad \quad 5\cdot \varphi = \alpha + 2\cdot\pi\cdot k, $$ решая которую, получаем $$ r=\sqrt[5]{5}, \quad \quad \varphi_k = \frac{\alpha}{5} + \frac{2\cdot\pi}{5}\cdot k. $$ Осталось сказать о выборе значений $%k$%, которые соответствуют различным точкам комплексной плоскости... достаточно выбрать пять подряд идущих значений, например, $%k=0;1;2;3;4$% ... и получить $$ \varphi_0 = \frac{\alpha}{5}, $$ $$ \varphi_1 = \frac{\alpha}{5} + \frac{2\cdot\pi}{5}, $$ $$ \varphi_2 = \frac{\alpha}{5} + \frac{4\cdot\pi}{5}, $$ $$ \varphi_3 = \frac{\alpha}{5} + \frac{6\cdot\pi}{5}, $$ $$ \varphi_4 = \frac{\alpha}{5} + \frac{8\cdot\pi}{5}. $$ Нетрудно понять, что $%\varphi_5 = \frac{\alpha}{5} + \frac{10\cdot\pi}{5} = \varphi_0+2\cdot\pi$% и далее по кругу...

ссылка

отвечен 8 Сен '17 21:01

изменен 8 Сен '17 21:03

Ооооооо, как подробно, спасибо большое!!! А то на паре какая-то сумятица была...

(8 Сен '17 22:16) Стас001
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×482

задан
8 Сен '17 18:33

показан
295 раз

обновлен
9 Сен '17 18:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru