Может ли уравнение $$x^{2018}+ax+b=0$$ иметь три (или более) вещественных корня при каких-нибудь вещественных $%a$% и $%b$%?

И если нет, то почему?

задан 9 Сен '17 1:32

1

Это совсем простая и стандартная вещь. На форуме не раз такое бывало в виде "подзадач" к чему-либо.

Если есть три корня, то есть два корня производной, а между ними -- корень второй производной. Причём не просто корень, а такой, при переходе через который f' меняет знак. Здесь же этого нет, так как вторая производная в левой части всюду больше нуля, за исключением одной изолированной точки. Это же верно для любой выпуклой кривой (экспоненты, скажем), пересекаемой прямой.

(9 Сен '17 1:57) falcao

@falcao, большое спасибо!

(9 Сен '17 11:12) Аллочка Шакед
1

@falcao, @Аллочка Шакед. А нельзя ли попроще? Графики функций y=x^2018 и y=kx+m не могут пересекаться более, чем в двух точках

(9 Сен '17 19:23) nynko
1

@nynko - правильно, не могут. А почему не могут? В силу выпуклости функции. А почему она выпукла? В частности, потому, что ее вторая производная всюду положительна.

(9 Сен '17 19:51) knop

@nynko: графические соображения могут помочь навести на мысль, но сами они доказательством не являются. То, что в школе они применяются к окружностям или параболам, основано на свойствах кривых второго порядка. А в общем случае всё может быть сложнее -- см. типичный пример на эту тему.

(9 Сен '17 22:37) falcao

@falcao В каком смысле не являются? Как выглядит график функции $%y=x^{2018}$% — более чем известно. Если не знаешь ответа на вопрос задачи, то достаточно посмотреть на график, и будет ответ. В чём секрет? (Не в общем случае, а для данной задачи.)

(9 Сен '17 22:53) abracadabra-...

@abracadabra-...: точки пересечения на графиках видны лишь приблизительно. Нам может казаться, что их две, а реально их может быть больше, если у графика есть какие-то мелкие колебания, которые на рисунке не заметны. См. на этот предмет ссылку выше, где точек пересечения более двух, а по картинке можно подумать, что их всего две.

Отсутствие "патологий" описывается свойством выпуклости, а это аналитическая часть.

(9 Сен '17 23:03) falcao

@falcao Ага. Я как-то слова @nynko не понял в том смысле, чтобы эту картинку рисовать (по точкам). Я это скорее понял в таком смысле: мы знаем, как выглядит (абстрактно) график параболо-образной такой кривой (точно так же, как мы знаем таблицу умножения); отсюда мы можем делать вывод… Вы, как я понял, берёте за основу ситуацию, когда это неизвестно; что тоже понятно.

(9 Сен '17 23:10) abracadabra-...

@abracadabra-...: то, что кривая "параболообразна", это понятно. Как в общих чертах выглядит её график, мы представляем. Но такого уровня рассуждений не достаточно для математического доказательства. Аргументация о том, что для параболы будет два корня, неправомерно переносить на случай зрительно похожей кривой без проведения аналитического рассуждения. Так или иначе, мы должны будем опираться на выпуклость.

(10 Сен '17 0:28) falcao

@falcao Мы знаем, что функция чётная. Мы знаем, что при положительных аргументах она возрастает всё быстрее. Значит, она сначала убывает всё медленнее, потом возрастает всё быстрее; в этом-то смысле (а не в смысле зрительной схожести) она параболообразна. Чего же боле? Если лезть в слова, то фразу @nynko можно расшифровать так, что он говорил о множествах пар значений (которые тоже вроде бы обзывают «графиками»). У меня такое ощущение, что рассуждение @nynko точно то же самое, что у вас, но он высказал его нагляднее… Что не всегда +, но если задача школьная, то очень даже.

(10 Сен '17 0:41) abracadabra-...

@abracadabra-...: чётность функции здесь не помогает и не мешает. "Возрастает всё быстрее" означает, что производная растёт. Тогда вторая производная положительна, то есть имеет место выпуклость вниз. Осталась "мелочь": вывести из этого свойства, что точек пересечения с прямой не более двух. Ещё раз повторяю, что ссылка на график для доказательства не достаточна. И рекомендую это осмыслить на примере экспоненты и логарифма по ссылке. На меня, когда я учился в школе, этот пример произвёл сильное впечатление: я никак этому не мог поверить.

(10 Сен '17 0:57) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,315
×1,104
×297
×148
×122

задан
9 Сен '17 1:32

показан
452 раза

обновлен
10 Сен '17 0:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru