Пусть A-матрица, x-вектор. Доказать, что $$ \parallel A\parallel_{ \infty }= max_{i}\sum_{j=1}^n \mid x_{i,j} \mid$$ если $$ \parallel x \parallel_{ \infty }= max\mid x_{i} \mid$$

задан 9 Сен '17 15:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Операторная норма равна наибольшему значению нормы вектора $%Ax$% на единичной сфере, то есть на множестве векторов с условием $%\|x\|=1$% (нижний индекс я опускаю). Если все координаты вектора $%x$% по модулю не больше 1, то для любого $%1\le i\le n$%, модуль $%i$%-й координаты вектора $%Ax$%, не превосходит суммы модулей элементов $%i$%-й строки матрицы: $%|a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n|\le|a_{i1}|+\cdots+|a_{in}|$%. Тем самым, норма оператора не больше $%\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|$% при всех $%i$%. Значит, она не больше максимума таких сумм по $%i$% от $%1$% до $%n$%.

Покажем, что на некотором векторе будет иметь место равенство. Пусть $%i$% -- то число, на котором достигается максимум суммы модулей из условия, то есть он равен $%|a_{i1}|+\cdots+|a_{in}|$%. Рассмотрим вектор-столбец $%x$% с координатами $%x_1$%, ... , $%x_n$%, полагая $%x_j=1$% в случае $%a_{ij}\ge0$% и $%x_j=-1$% при $%a_{ij} < 0$%. Ясно, что норма $%x$% равна 1, а также что $%a_{ij}x_j=|a_{ij}|$%. Тем самым оказывается, что у вектора $%Ax$% имеется координата (с номером $%i$%), которая равна сумме модулей элементов $%i$%-й строки. Норма $%Ax$% не меньше этого значения, а вектор $%x$% единичен. Значит, имеет место неравенство для нормы в обратную сторону, что в итоге даёт равенство для нормы оператора.

ссылка

отвечен 9 Сен '17 17:26

изменен 9 Сен '17 17:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,332
×82

задан
9 Сен '17 15:22

показан
286 раз

обновлен
9 Сен '17 17:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru