С натуральным числом проделываем следующую операцию: его последнюю цифру отделяем, умножаем на 7 и прибавляем к оставшемуся числу (скажем, из 2017 получаем 250). С полученным числом проделываем то же самое, и так далее. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось число 2001, то в ней нет ни одного простого числа.

задан 9 Сен '17 17:14

Было 10A+B, что по модулю 3 сравнимо с A+B. Стало A+7B, что также сравнимо с тем же числом. Значит, остаток от деления на 3 всегда один и тот же. Если встретится 2001, то все числа делятся на 3. Среди них нет 3, так как оно даёт 3, 21, 9, 63, 27, 51, 12, 15, 36, 45, 39, 66, 48, 60, 6, 42, 18, 57, 54, 33, 24, 30, 3, ... и далее период. При этом 2001 не появится. А само 3 ни из чего другого возникнуть не могло.

(9 Сен '17 17:54) falcao

@falcao. Мне не все понятно. Вы пишете: "Если встретиться 2001, то все числа делятся на 3..." Это понятно. Но дальше: ...среди них нет 3, так как ОНО дает 3,21... 30,3." ОНО - это кто? 2001 дает 207, 69,69 и далее всегда 96. Я так понял, что после 2001 не может быть тройки, (только что доказано) а до 2001 вообще ничего не могло быть. В указанной последовательности число 2001 могло быть только на первом месте. Или я ошибаюсь?

(9 Сен '17 19:05) nynko
1

@falcao , Соображения делимости на 3 как раз ускользнули от моего внимания, к сожалению. Поэтому решение у меня получилось немножко извращённое. Моё решение такое: если в последовательности есть 2001, то каждое число в ней делится на 23. Самого же числа 23 там не будет, это несложно доказать.

(9 Сен '17 19:08) Аллочка Шакед
1

Речь о том, что последовательность из 2001 не содержит 3, а последовательность, начавшаяся с 3, циклическая и не содержит 2001. Поэтому задача верна

(9 Сен '17 19:09) knop
1

@Аллочка Шакед: про особую роль числа 23 (или 69) я здесь вообще не думал, но это соображение может стать важным, если чуть изменить условие задачи, направив год проведения олимпиады в будущее или прошлое, то есть заменив число 2001 на 2024 или 1978 (мой год "предокончания" школы :)).

(9 Сен '17 22:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×309
×150
×128

задан
9 Сен '17 17:14

показан
291 раз

обновлен
9 Сен '17 22:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru