Дано: А и В- известные квадратные матрицы, D - неизвестная квадратная матрица. Символы: t - символ транспонирования матрицы, x - символ перемножения. Уравнение: Dt x C x D = A, где С=Bt x A x B Требуется: Найти D. Пояснение: Требуется найти решение для составление программы для квадратных матриц любого порядка. Задача прикладная, не учебная. Я сам проходил высшую математику в техническом ВУЗе 42 года назад. Что-то помню, но вот эта чертова С между двумя неизвестными матрицами, одна из которых транспонированная к другой, ставит меня в тупик. Если бы А х В = В х А, то всё было бы просто. Но увы. Подскажите алгоритм - как разрулить эту головоломку.

задан 9 Сен 22:10

Получается, что матрица А не должна измениться при ее умножении справа на матрицу X=BD, и одновременно слева на транспонированную матрицу Х.Но тогда матрица X должна,как минимум, иметь ранг не меньший ранга матрицы А, что невозможно, если ранг В будет уже меньше ранга А. Так что такая задача далеко не всегда разрешима.

(9 Сен 22:46) Амфибрахий

Спасибо, но не совсем понял смысл сказанного. Уточните пожалуйста. Что же касается рангов А и В, то подразумевается, что они одинаковы. Ну а если задача неразрешима, то значит исходные данные заданыы неверно. Надо корректировать.

(9 Сен 23:29) milimech

В своих размышлениях я использовал тот факт, что у равных матриц одинаковые ранги, и что ранг произведения матриц не превосходит рангов сомножителей.

(10 Сен 0:03) Амфибрахий

@milimech: можно ли использовать какие-то дополнительные предположения типа невырожденности рассматриваемых матриц? Такое впечатление, что в этом случае возможно сравнительно ясное описание решений, а для более общего случая всё может оказаться сложнее. Ещё лучше было бы в случае положительной определённости матриц, если это в приложениях именно так.

(10 Сен 0:48) falcao

Предположение невырожденных матриц А и В рационально. Просто в начале программы можно ввести проверку на невырожденность матрицы, как обязательное условие допустимости дальнейших действий. И на равенство рангов. Видимо и искомая матрица D тоже не должна получиться вырожденной. Хотя бы по физическому смыслу.

(10 Сен 1:33) milimech

Для невырожденной матрицы В задача тривиальна: независимо от вида матрицы А берем $%D=B^{-1}$% и мы в дамках!

(10 Сен 2:19) Амфибрахий

@Амфибрахий: это будет так, если требуется найти хотя бы одно решение. Но если надо описать все решения, то задача становится сложнее.

(10 Сен 2:40) falcao

Спасибо, но необходимы все решения. А точнее D не равно обратной В, тогда бы и задача не возникала. По физическому смыслу это решение не подходит.

(10 Сен 2:58) milimech

@milimech: вот ещё что хотелось бы уточнить: не является ли матрица A из условия задачи симметрической? Такое ограничение здесь выглядело бы довольно естественным. Если да, то какое-то полное описание решений возможно, хотя оно не будет устроено совсем просто.

(10 Сен 12:33) falcao

К сожалению матрицы А и В в общем случае не симметрические, а совершенно произвольные, но квадратные. В этом случае точное решение невозможно?

(10 Сен 18:37) milimech

@milimech: для общего случая, когда A не симметрична (про B это не важно), я на данный момент не знаю решения. Наверное, оно в каком-то виде должно существовать, но я не могу оценить степень сложности описания. Даже для симметричного случая получается не так просто. Если интересно, могу изложить схему рассуждения для этого частного случая.

(10 Сен 18:45) falcao

в некоторой степени это уравнение напоминает уравнение $%AX-XA=0$%... хотя степень похожести весьма отдалённая...

такое ощущение, что в разных частных случаях решение выписывается по разному...

(10 Сен 19:14) all_exist

Конечно интересно.

(10 Сен 21:26) milimech

ПОпытался представить - во что выльется разрешение матриц. Получается система N-квадрат уравнений с N-квадрат неизвестных, причем в левой части каждого уравнения N слагаемых и все слагаемые в левой части 2-го порядка, справа - число. Здесь N - сторона квадратной матрицы, все матрицы одного порядка без нулевых членов и несимметричные. Вроде бы в принципе решаемо, но очень сложно. Формализованного решения не нашел. Или всё же есть?

(10 Сен 21:34) milimech
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
0

Уравнение имеет вид $%(BD)^tA(BD)=A$%, и требуется найти все $%D$% по заданным $%A$%, $%B$%. Если $%B$% невырожденная, то достаточно описать все $%X$% с условием $%X^tAX=A$%. После этого получается $%D=B^{-1}X$%, где $%X$% пробегает найденное множество решений.

Следует заметить, что рассматриваемое уравнение сложнее, чем аналогичное уравнение коммутирования, без операции транспонирования. Если всё выражать через матричные координаты, то получится система квадратичных уравнений, в то время как для случая $%XA=AX$% уравнения получаются линейными.

Допустим, что матрица $%A$% симметрична. Тогда мы, фактически, имеем дело с квадратичными формами, а правило $%A\to X^tAX$% задаёт закон преобразования квадратичных форм.

Прежде всего, можно методом Лагранжа привести форму с матрицей $%A$% к сумме/разности квадратов посредством некоторого невырожденного линейного преобразования. Это даёт $%A=Q^tMQ$%, где $%Q$% -- невырожденная матрица, и $%M$% диагональная. Применяя описанный метод, мы имеем явное выражение для $%M$% и $%Q$%.

Если $%A$% вдобавок невырожденная, то $%M$% состоит из единиц и минус единиц по диагонали. То есть форма после преобразования имеет вид $%x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2$%, где $%p+q=n$%.

Известно, что преобразования, сохраняющие такую форму, образуют группу. При $%q=0$%, то есть для случая положительно определённой формы, получается ортогональная группа преобразований $%O(n)$%. Устроена она относительно сложно, но это описание в принципе хорошо известно. Грубо говоря, ортогональных преобразований столько же, сколько ортонормированных базисов в $%\mathbb R^n$%, а последние получаются применением процесса ортогонализации Грама - Шмидта к произвольным базисам, то есть, фактически, невырожденным матрицам.

Если форма не является положительно определённой, то получается некоторое обобщение описанной выше группы; см. здесь. О ней также многое известно, и может быть найдено в литературе. Надо сразу заметить, что уровень сложности описания множества решений для случая симметричной матрицы $%A$%, точно такой же, как устройство группы $%O(p,q)$%, так как одно легко переводится в другое.

Действительно, наше уравнение можно записать как $%X^tQ^tMQX=Q^tMQ$%, что равносильно условию, что $%QXQ^{-1}$% сохраняет форму с матрицей $%M$%, то есть задаётся матрицей из группы $%G=O(p,q)$%. Тогда $%X$% принадлежит $%Q^{-1}GQ$%, где матрица $%Q$% нам известна.

Для несимметричной матрицы $%A$% ситуация ещё более усложняется, но мне пока трудно сказать, в какой мере.

ссылка

отвечен 10 Сен 21:52

Скажу честно - поплыл. Слова вроде бы преимущественно знакомые, а смысл ускользает. Но может быть упростит то, что матрицы А, В и С состоят из натуральных чисел и, соответственно, матрицу С не обязательно рассматривать как произведение 3-х матриц, а она может быть оформлена просто как матрица из натуральных чисел. Все матрицы только квадратные, с одинаковыми сторонами, одного порядка, но не симметричные. Но порядок N может быть велик и достигать нескольких десятков. Все вычисления выполняются на ЭВМ по программе, Которую надо составить, только варьируются значения членов исходной матрицы.

(11 Сен 0:43) milimech
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×90
×4

задан
9 Сен 22:10

показан
184 раза

обновлен
11 Сен 0:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru