Как доказать, что [A,B] никогда не может быть равен единичной матрице?

задан 9 Сен '17 22:55

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это такая бородатая задача... След коммутатора равен 0, а след единичной матрицы-положителен.

ссылка

отвечен 9 Сен '17 22:57

Разве след коммутатора не только для квадратных матриц равен 0?

(9 Сен '17 23:03) driver

@driver: кольцевой коммутатор AB-BA определён, поэтому оба произведения существуют и имеют одинаковый размер. Если размер A равен mxn, то у B размер nxm, чтобы оба произведения существовали. Тогда получается разность матриц mxm и nxn, откуда m=n. То есть все матрицы квадратные одного и того же размера.

Всё следует из равенства tr(AB)=tr(BA), если коэффициенты действительны. В общем случае может быть чуть сложнее, если рассматривать матрицы над полями конечной характеристики.

(9 Сен '17 23:04) falcao

@falcao спасибо, теперь понятно! А как доказать, что для квадратных нулевой след коммутатора? Я доказал через выражение суммы и разности элементов главной диагонали

(9 Сен '17 23:14) driver

Написать формулу для следа произведения и увидеть, что он не зависит от порядка сомножителей.

(9 Сен '17 23:22) Амфибрахий

@driver: tr(AB) равен сумме всех чисел a_{ij}b_{ji}. Это прямо следует из определения произведения матриц и определения следа. Тогда понятно, что tr(BA) точно такой же.

(9 Сен '17 23:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×416

задан
9 Сен '17 22:55

показан
1503 раза

обновлен
9 Сен '17 23:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru