https://pp.userapi.com/c836327/v836327135/6d486/5eiYkxBDxTA.jpg Номер 1.64. Определения нашел. Первый сделал, просто преобразовал формулу. А как остальные?

задан 10 Сен 20:40

изменен 10 Сен 20:41

1

@Стас001: а в чём проблема с остальными формулами? Синусы и косинусы выражаются через экспоненту. Дальше -- обычные тождественные преобразования.

(10 Сен 21:21) falcao

@falcao Синус комплексного числа расписываю по определению. Потом гиперболические функции - через экспоненту, но как отсюда должен получиться cos(pi/2-z)? Просто первый раз сталкиваюсь с таким применением комплексных чисел...

(12 Сен 18:26) Стас001

@Стас001: комплексная экспонента обладает свойством exp(z1+z2)=exp(z1)exp(z2). Это известный факт, который доказывается через формулы косинуса и синуса суммы вещественного аргумента. Далее получается 2cos(п/2-z)=exp(пi/2-iz)+exp(-пi/2+iz)=exp(пi/2)exp(-iz)+exp(-пi/2)exp(iz)=iexp(-iz)-iexp(iz)=(exp(iz)-exp(-iz))/i=2sin z. Это чисто автоматическая проверка.

(12 Сен 21:43) falcao

@falcao Честное слово, первый раз слышу. А сам не догадался(( Видимо преподаватель поторопился с этим домашним заданием. Спасибо.

(12 Сен 23:40) Стас001

@falcao, да простит меня форум за злостный оффтопик! Вы пишете: "Синусы и косинусы выражаются через экспоненту". В связи с этим напрашивается следующий анекдот:

Чем отличаются алкоголики от синусов и косинусов? Первые выражаются матом, а вторые - через экспоненту!

Также сам собой возникает вопрос, а допустимо ли выражаться матом через экспоненту?

(13 Сен 0:37) Аллочка Шакед
2

@Аллочка Шакед: думаю, что допустимо -- причём даже через "кратную" экспоненту. Это если "многоэтажным"! :)

(13 Сен 0:51) falcao

@falcao Формулы все осознал новые, но уже третий час соображаю как мы осуществили вот эти равенства: "exp(пi/2)exp(-iz)+exp(-пi/2)exp(iz)=iexp(-iz)-iexp(iz)=(exp(iz)-exp(-iz))/i". Вместо пары экспонент в числителе появился i, а потом переехал в знаменатель...

(14 Сен 21:25) Стас001
1

@Стас001: я пока что-то не пойму, какие вещи Вы упустили. Возможно, это всё та же базовая формула Эйлера e^{iф)=cos ф + i sin ф, согласно которой при ф=п/2 получится в правой части 0+1*i, то есть i. Аналогично для ф=-п/2 будет -i. Также всем известно, что i^2=-1, поэтому 1/i=-i и i=-1/(-i), что означает смену знака и "переезд" в знаменатель. Напомню, что sin z определяется как (e^{iz}-e^{iz})/(2i), почему у нас и вышло 2sin z. На 2 я всё изначально домножил для удобства.

(14 Сен 22:21) falcao

@falcao Точно..... Формулу Эйлера то знаю, просто в группе ни одного такого примера не разбирали. Хотя конечно надо учиться и самому соображать быстрее.

(14 Сен 23:17) Стас001

@Стас001: эта задача специфическая -- она как бы "уникальна", и не относится к серии задач типа "найти объём тела". Поэтому разбирать тут нечего. Считается, что базовых знаний для проверки тождеств такого типа достаточно. Это основные формулы, определения, и правила действия с комплексными числами. Важно хорошо помнить, в каком порядке это всё вводилось на лекциях или в учебниках. Это касается придания смысла выражениям exp(z), cos z, sin z комплексного аргумента и проверки свойств.

(14 Сен 23:48) falcao

@falcao В том то и дело, что на лекциях ничего этого не было еще. Вообще заметил, что чем выше уровень изучения математики, тем больше в ней абстрактности, каких-то мелочей, которые как бы надо додумывать самому)

(15 Сен 21:24) Стас001

@Стас001: если не было, то, вероятнее всего, считалось, что элементарные свойства комплексных чисел были уже изучены когда-то раньше. Ведь в "старую" версию школьной программы когда-то комплексные числа входили. Если так, то надо найти какой-то подходящий учебник, и изучить это всё на систематическом уровне дополнительно. Материал это "ходовой", и он ещё не раз понадобится.

(15 Сен 23:15) falcao

@falcao У нас были конечно же в Лицее комплексные числа. Но только преобразования с ними. Типа перемножения,графики, возведения в степень, извлечение корня, решение уравнений и прочие элементарные сведения.

(15 Сен 23:59) Стас001
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×379

задан
10 Сен 20:40

показан
114 раз

обновлен
15 Сен 23:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru