$%a$%, $%b$% - натуральные числа. Докажите, что выражение $%(a+1/2)^n+(b+1/2)^n$% может быть целым только при конечном числе натуральных $%n$%.

задан 10 Сен 22:14

изменен 10 Сен 22:14

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим последовательность $%x_n=(2a+1)^n+(2b+1)^n$% при $%n\ge0$%. Достаточно доказать, что степени двойки, на которые могут делиться эти числа, ограничены в совокупности.

Пусть $%k\ge1$% -- максимальный показатель, для которого $%x_1=2(a+b+1)$% делится на $%2^k$%. Тогда $%x_0=2$% и $%x_1=2^k$% по модулю $%2^{k+1}$%. Для последовательности имеет место рекуррентное соотношение $%x_{n+2}=px_{n+1}-qx_n$%, где $%p=2(a+b+1)$%, $%q=(2a+1)(2b+1)$%. Ясно, что все числа последовательности чётны, и тогда первый член в правой части будет сравним с нулём по модулю $%2^{k+1}$%. По этому модулю, будет происходить каждый раз домножение "позапрошлого" члена на нечётное число $%-q$%, то есть получится $%2$%, $%2^k$%, $%-2q$%, $%-2^kq$%, $%2q^2$%, $%2^kq^2$%, ... и так далее. То есть члены с чётными номерами делятся на 2, но не на 4, а члены с нечётными номерами делятся на $%2^k$%, но не на $%2^{k+1}$%.

ссылка

отвечен 11 Сен 12:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×119

задан
10 Сен 22:14

показан
79 раз

обновлен
11 Сен 12:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru