Пусть G аддитивная группа квадратных матриц R nxn. Найти её смежные классы по подгруппе симметричных матриц

задан 11 Сен 20:45

изменен 11 Сен 21:00

1

1.Бывают смежные классы группы ПО подгруппе, а не В подгруппе. 2.Какое именно описание требуемых классов предполагается? Например, каждый смежный класс состоит из всех таких матриц,что разница любых двух из них является симметрической матрицей.

(11 Сен 20:52) Амфибрахий

В задании нет уточнения описания классов, предполагаю, что ваш пример подходит

(11 Сен 21:04) Aveor
10|600 символов нужно символов осталось
0

Известен такой простой факт: всякая квадратная матрица X представима в виде суммы Y+Z, где Y симметрична (то есть Y^t=Y), а Z антисимметрична (то есть Z^t=-Z). При этом представление указанного вида единственно.

Начнём с установления единственности. Пусть X=Y+Z. Тогда X^t=Y^t+Z^t=Y-Z. Отсюда Y=(X+X^t)/2, Z=(X-X^t)/2, то есть слагаемые Y, Z однозначно восстанавливаются по X. Это влечёт единственность. Существование же следует из того, что матрица (X+X^t)/2 симметрична, а (X-X^t)/2 антисимметрична.

Факты такого рода -- не редкость: примерно так же доказывается, что всякая числовая функция, заданная на прямой, однозначно раскладывается в сумму чётной и нечётной, и так далее.

Из сказанного следует, что смежный класс каждой матрицы X по подгруппе симметричных матриц содержит одну и только одну антисимметричную матрицу. Это значит, что смежных классов будет "столько же", сколько антисимметричных матриц. Иными словами, между одним и другим множеством имеется естественное взаимно однозначное соответствие.

Для примера рассмотрим матрицу X = ( 1 2 // 3 4 ). Она представима в виде суммы Y+Z, где Y=( 1 5/2 // 5/2 4 ) и Z=( 0 -1/2 // 1/2 0 ). Это значит, что она лежит в смежном классе антисимметричной матрицы Z. При этом матрица Z с таким свойством единственна.

ссылка

отвечен 11 Сен 23:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×601

задан
11 Сен 20:45

показан
33 раза

обновлен
11 Сен 23:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru