Определим расстояние между двумя множествами $%X$% и $%Y$% как точную нижнюю грань множества $%\{\rho(x,y):x\in X, y\in Y\}$%. Верно ли, что расстояние $%d$% между $%X=\mathbb{Z}$% и $%Y=\{2+1/n: n\in\mathbb N\cap [2,+\infty)\}$% равно нулю?

Кажется, что да, но доказать не получается. То что $%0$% - нижняя грань $%\{\rho(x,y):x\in X, y\in Y\}$% следует из определения положительной определенности метрики. Значит, $%d\ge 0$% поскольку $%d$% - наибольшая нижняя грань. Осталось доказать, что $%d\le 0$%, но как это сделать?

задан 11 Сен 21:08

И правда же, что X и Y в данном примере несвязны?

(11 Сен 21:11) wart

Это чистая правда.

(11 Сен 22:28) Амфибрахий

@wart: расстояние неотрицательно, поэтому т.н.г. также неотрицательна. Она равна нулю по причине того, что в Y есть числа, сколь угодно близкие к целым. Если нам нужна степень близости eps, то выбираем n>1/eps. Тогда расстояние между числом 2 из X и числом 2+1/n из Y будет меньше eps.

Связными множества быть не обязаны, поэтому данное соображение совершенно лишнее.

(11 Сен 23:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%ρ(2;2+\frac1n)=\frac1n,$% поэтому $%d\leq \frac1n.$%

ссылка

отвечен 11 Сен 21:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,897

задан
11 Сен 21:08

показан
45 раз

обновлен
11 Сен 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru