Для метрических пространств $%(X_1,d_1)$% и $%(X_2,d_2)$% определим метрику на $%X_1\times X_2$% как $%d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_1(x_1,x_2)+d_2(y_1,y_2)$%.

Подмножество метрического пространства $%(X_1\times X_2,d)$% открыто, если каждая точка содержится в нем вместе с некоторой окрестностью в метрике $%d$%. Доказать, что подмножество $%Y$% открыто в $%(X_1\times X_2,d)$% тогда и только тогда для каждой точки $%y=(y_1,y_2)\in Y$% существуют открытые подмножества $%Y_1\subset X_1$%, $%Y_2\subset X_2 $% (т.е. каждая точка которых содержится в $%X_i$% вместе с окрестностью в метрике $%d_i$%), такие что $%y\in Y_1\times Y_2\subset Y$%.

задан 11 Сен 22:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть Y1 открыто в X1, и Y2 открыто в X2. Рассмотрим декартово произведение Y1 x Y2. Проверим, что оно открыто в X1 x X2. Возьмём произвольную точку (y1,y2) из Y1 x Y2. Тогда y1 содержится в некотором открытом шаре радиусом d1 > 0, который содержится в Y1. Аналогично, y2 содержится в некотором открытом шаре радиусом d2 > 0, который содержится в Y2.

Положим d=min(d1,d2) и рассмотрим открытый шар радиусом d с центром в точке (y1,y2). Проверим, что он содержится в Y1 x Y2. Из этого будет следовать, что данное множество открыто. Пусть (x1,x2) -- произвольная точка шара. По условию, dist(x1,y1)+dist(x2,y2) < d. Отсюда следует, что dist(x1,y1) < d <=d1, а потому x1 принадлежит шару с центром y1 радиусом d1, то есть принадлежит и Y1. Аналогично, x2 принадлежит Y2. Получили, что точка шара (x1,x2) находится в Y1 x Y2.

Назовём множество вида Y1 x Y2 "простейшей окрестностью". Требуется доказать, что любая точка открытого в X1 x X2 множества, может быть окружена такой простейшей окрестностью в пределах этого множества. Прежде всего мы знаем, что точку (x1,x2) открытого в X1 x X2 множества можно окружить шаром некоторого радиуса d > 0 в пределах этого множества. Теперь окружим x1 шаром Y1 радиуса d/2 в X1, а точку x2 окружим шаром Y2 радиуса d/2 в X2. Множество Y1 x Y2 будет открыто, как мы установили выше. При этом оно будет содержаться в шаре радиуса d, так как расстояние по каждой координате меньше d/2, и сумма расстояний (это метрика декартова произведения) будет меньше d.

ссылка

отвечен 11 Сен 23:40

Непонятно, где какая импликация доказывается.

В первых двух абзацах предполагается, что для каждой точки (y_1,y_2) существуют открытые Y_i в X_i, такие что Y_1xY_2 содержится в Y и содержит (y_1,y_2)? И требуется доказать, что Y открыто в метрике d, т.е. что каждая точка (y_1,y_2) содержится в Y вместе с окрестностью в метрике d.

Зачем надо проверять, что шар рад. d с центром (y_1, y_2) содержится в Y_1xY_2? Надо же доказать, что (y_1,y_2) содержится в Y (а не в Y_1xY_2) c dist-окрестностью? Почему по условию dist(x1,y1)+dist(x2,y2) < d?

(13 Сен 21:28) wart

@wart: в первых двух абзацах доказывается вспомогательный факт о том, что "простейшие окрестности" открыты. Из этого автоматически следует импликация в одну из сторон, а именно, <=. Третий абзац доказывает импликацию =>. Нам дано какое-то отрытое множество Y, и мы по определению можем окружить его точку шаром радиуса d. Сначала делаем это, а потом подбираем окрестности радиуса d/2 по координатам. Их декартово произведение содержится в шаре ввиду dist(...)+dist(...) < d/2+d/2=d. А шар по построению лежит в пределах Y.

(13 Сен 21:48) falcao

Зачем в 3 абзаце нужна открытость простейшей окрестности?

"Требуется доказать, что любая точка открытого в X1 x X2 множества, может быть окружена такой простейшей окрестностью в пределах этого множества" - для доказательства этого не нужна открытость простейшей окрестности...

Во втором абзаце откуда все-таки dist(x1,y1)+dist(x2,y2) < d? Почему это дано?

(13 Сен 22:42) wart

@wart: свойство открытости Y1 x Y2 нужно как минимум для доказательства импликации <=, которая при этом автоматически становится верной, так как позволяет точку y из Y окружить открытой окрестностью в пределах Y, что доказывает открытость Y.

У меня словами написано, что x1 и x2 окружаются шарами Y1 и Y2 радиусом d/2 каждый. Тогда, если y1 принадлежит Y1 и y2 принадлежит Y2, то dist(x1,y1)<d/2, dist(x2,y2)<d/2, и далее неравенства складываем.

(13 Сен 22:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,022

задан
11 Сен 22:07

показан
88 раз

обновлен
13 Сен 23:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru