Доказать, что кольцо из этого вопроса является кольцом главных идеалов.

задан 11 Сен 23:26

изменен 12 Сен 8:43

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем рассматривать ростки голоморфных функций в окрестности точки $%a$%. Они образуют кольцо. Рассмотрим произвольный идеал $%I$% этого кольца и докажем, что он является главным. Для нулевого идеала это верно. Пусть $%I$% ненулевой.

Для каждого ростка функций, представленного голоморфной функцией $%f\in I$%, где $%f\ne0$%, рассмотрим её разложение в степенной ряд в окрестности точки $%a$%. Хотя бы один из коэффициентов при этом окажется ненулевым. Пусть это коэффициент $%c$% при $%n$%-м члене, где $%n\ge0$%: $%f(x)=c(x-a)^n+\cdots$%. Будем считать, что функция выбрана таким образом, что $%n$% принимает наименьшее возможное значение.

При этом получается, что $%f(x)=(x-a)^ng(x)$%, где $%g(x)=c+\cdots$% -- голоморфная в некоторой окрестности точки $%a$% функция с условием $%g(a)=c\ne0$%. Тогда $%g(x)$% не обращается в ноль в какой-то окрестности точки $%a$%, и функция $%\frac1{g(x)}$% будет голоморфной в этой окрестности. Ей соответствует росток, то есть элемент кольца. Домножим на него функцию $%f$% из $%I$%, снова получая функцию из $%I$%. В данном случае это будет $%(x-a)^n$%.

Осталось показать, что эта функция порождает идеал $%I$%. Это следует из того, что для любой функции из $%I$% можно выделить множитель $%(x-a)^m$%, где $%m\ge n$%, так как $%n$% выбиралась наименьшим. Тем самым, получается произведение $%(x-a)^n$% на некоторую голоморфную в окрестности $%a$% функцию, то есть элемент главного идеала.

ссылка

отвечен 12 Сен 8:49

Почему можно считать, что функция выбрана таким образом, что n принимает наименьшее возможное значение?

(13 Сен 22:51) Slater

@Slater: всякое непустое множество целых неотрицательных чисел имеет наименьший элемент. Это, фактически, одна из аксиом арифметики, экввивалентная принципу математической индукции.

(14 Сен 0:03) falcao

Но сначала была зафиксирована ненулевая функция f. Для нее n определено однозначно. Почему возможна "подмена" функции f на другую?

(14 Сен 0:10) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,036
×264

задан
11 Сен 23:26

показан
84 раза

обновлен
14 Сен 0:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru