Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — 4 и т.д. (в каждой следующей группе вдвое больше чисел). Можно ли это сделать таким образом, чтобы квадрат суммы чисел в каждой группе, уменьшенный на 3, нацело делился на квадрат какого-нибудь простого числа?

задан 12 Сен 0:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть сумма чисел в группе равна $%n$%. Требуется, чтобы $%n^2-3$% делилось на квадрат некоторого простого числа $%p$%. Последнее обладает тем свойством, что $%3$% является квадратом по модулю $%p$%. Положим $%p=11$% ($%5^2-3=22$% делится на $%11$%). Будем искать подходящие числа вида $%n=11k+5$%. Разность $%n^2-3$% равна $%11^2k^2+110k+22$%. Чтобы она делилась на $%11^2$%, нужно, чтобы $%10k+2$% делилось на $%11$%, то есть $%k=11m+2$%. Отсюда $%n=121m+27$%.

Таких чисел бесконечно много, и легко добиться того, чтобы сумма чисел в каждой из групп имела такой вид. Численность групп при этом может быть почти какой угодно. В первую группу помещаем число 27. В каждую следующую группу набираем все числа, кроме последнего, как наименьшие среди пока не использованных, а последнее выбираем так, чтобы оно было новым, и сумма чисел в группе была сравнима с 27 по модулю 121. Вторая группа будет тогда состоять из 1 и 26, третья из 2, 3, 4, 18, четвёртая из 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 92 -- чтобы в сумме было 148, и так далее.

ссылка

отвечен 12 Сен 3:05

@falcao, большое спасибо!

(13 Сен 0:02) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×936
×348
×102
×100
×100

задан
12 Сен 0:50

показан
93 раза

обновлен
13 Сен 0:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru