Построить фактор-пространства: $$ $$ а) $% \mathbb {R} \ \ \ \ по \ \ \ x \sim y \Leftrightarrow x - y \in Q $% $$ $$ б) $% \mathbb {R} \ \ \ \ по \ \ \ x \sim y \Leftrightarrow sin(x) = sin(y) $% $$ $$ в) $% \{ (x,y) \in \mathbb {R}^2 | \ \ x^2 + y^2 \leq 1 \} $% по отношению эквивалентности, относительно которого эквивалентными являются диаметрально противоположные точки граничной окружности.

задан 12 Сен 22:21

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Из теории множеств известно, что фактормножество R/Q R/Q имеет ту же мощность, что и R R ввиду счётности Q Q , то есть оно континуально по мощности. Осталось выяснить, какая топология получается на этом пространстве. Оказывается, она будет антидискретной, то есть открытыми является лишь пустое множество и всё пространство. Действительно, если взять непустое открытое подмножество R/Q R/Q , то его прообраз на числовой прямой открыт и содержит некоторый интервал. Рассмотрим положительное рациональное число q q , меньшее длины интервала. Ясно, что сдвиги интервала на числа, кратные q q , покроют всю прямую. Иными словами, любая точка прямой эквивалентна некоторой точке интервала. Значит, образом данного интервала будет всё R/Q R/Q , то есть именно оно и было взято. 2) Эта задача совсем лёгкая: понятно, что получится отрезок [−1;1] [−1;1] с обычной топологией. 3) Здесь надо рассмотреть нестрогое неравенство -- в противном случае при факторизации ничего не склеивается. Вырежем из плоскости квадрат вместо круга, и пометим стороны квадрата по часовой стрелке буквами a, b, a, b, что соответствует склеиванию диаметрально противоположных точек. От вершин квадрата направим лучи с метками x, y, z, t. Разрежем плоскость по этим лучам, получая 4 куска. Склеим их попарно сначала по a, потом по b. Получатся две полосы, у одной из которых края имеют метки x^{-1}z и y^{-1}t, а у другой y^{-1}t и z^{-1}x. Полоса есть не что иное как произведение отрезка на открытый интервал, поэтому можно считать, что вместо бесконечных полос у нас имеются ограниченные. Тогда при склейке таких полос получается лист Мёбиуса без границы.

ссылка

отвечен 12 Сен 22:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×317

задан
12 Сен 22:21

показан
51 раз

обновлен
12 Сен 22:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru