$%P(z)=z^n+\sum_{i=0}^{n-1} c_iz^i$%, $%\Delta=\{z: |z|<1\}$%, $%\Delta_r=\{z:|z|< r \}$%

Доказать:

Если $%|P(z)|\le 1$% на $%\partial \Delta$%, то $%c_i=0$% $% \forall i=0,\dots, n-1$%, т.е. $%P(z)=z^n$%. Кроме того, функция $%f(r)=r^{-n}\cdot \max_{z\in \partial \Delta_r} |p(z)|$% строго монотонно убывает при $%r>0$%, за исключением случая когда $%c_i=0$% $% \forall i=0,\dots, n-1$%.

Указание: рассмотреть $%\hat P(z)=z^nP(1/z)$%.

задан 13 Сен 10:54

$%z^n\hat P(1/z)$% - многочлен со свободным членом 1 и старшим коэффициентом с_0, $%|z^n\hat P(1/z)|\le 1$% на $%\partial \Delta$%. Но как дальше действовать?

(13 Сен 22:32) Slater

Использовать принцип максимума модуля:сравнить значение модуля в нуле и на границе.

(14 Сен 1:24) Амфибрахий

В нуле значение равно 1, на границе не больше 1, значит максимум модуля достигается во внутренней точке, значит $%z^n\hat P(1/z)$% константа, равная единице в замыкании области, значит P(z)=z^n?

(14 Сен 1:29) Slater

А как доказать, что f(r) монотонно убывает?

(14 Сен 1:30) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×264

задан
13 Сен 10:54

показан
79 раз

обновлен
14 Сен 1:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru