Доказать, что $%z\mapsto (i-z)/(i+z)$% биективно отображает верхнюю полуплоскость на единичный диск. Понятно, что Im(z)=0 переходит в границу единичного диска. Точка из верхней полуплоскости переходит в точку внутри единичной окружности. Из чего следует, что вся верхняя полуплоскость отображается в единичный диск? Из чего следует биективность? (Биективность дробно-линейных преобразований на расширенной комплексной плоскости известна, но почему ограничение а верхнюю полуплскость тоже биективно?)

задан 13 Сен 11:00

Здесь имеются в виду топологические аргументы, то есть соображения непрерывности. Предположим, что какая-то точка верхней полуплоскости окажется во внешней части круга. Соединим две точки верхней полуплоскости отрезком. Его образ -- непрерывная кривая. Она где-то должна пересечь окружность. Но на окружность биективно отображается прямая Im z=0, поэтому так быть не может. Верхняя полуплоскость с границей отображается в круг. То, что на весь круг, а не на его часть, можно вывести из рассмотрения обратного преобразования, при которого круг отобразится в верхнюю полуплоскость. Отсюда биективность.

(13 Сен 15:42) falcao

Как биективность следует из рассмотрения обратного преобразования? Обратное преобразование биективно как отображение из расширенной комплексной плоскости в себя, но опять же почему оно биективно при ограничении на диск?

(13 Сен 18:10) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
0

Отображение можно записать так: $%f(z)=-1+2i\cdot\frac1{i+z}.$% Теперь выполняем отображение "по действиям": сдвиг, инверсия с отражением, растяжение с поворотом, сдвиг. Все шаги биективны, и результат их последовательного применения ясен.

ссылка

отвечен 14 Сен 1:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×264

задан
13 Сен 11:00

показан
83 раза

обновлен
14 Сен 1:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru