Докажите что ранг m x n матрицы А тогда и только тогда равен k когда существуют такие m x k матрица В и k x n матрица С, rkB=rkC=k, что A=BC

задан 13 Сен 17:01

10|600 символов нужно символов осталось
0

В одну сторону: понятно, что ранг матрицы не превосходит как число строк, так и число столбцов. Поэтому k<=m, k<=n. Выбираем в матрице B линейно независимые строки в количестве k, формируя из них квадратную матрицу B' ранга k. Она невырождена. Аналогично, можно выбрать k линейно независимых столбцов матрицы C, которые дают квадратную матрицу C'. Обе матрицы невырождены, и тогда их произведение B'C' также невырождено и имеет ранг k. По построению, это будет подматрица в A=BC ранга k. Тем самым, rk(A)>=k. То, что rk(A)=rk(BC)<=rk(B)=k, очевидно. Импликация <= доказана.

Осталось для матрицы ранга k найти разложение вида A=BC. Это можно сделать так: найти у матрицы A ненулевой минор порядка k. Это квадратная матрица, которая равна произведению самой себя и E. Далее надо первый сомножитель расширить до матрицы mxk. Делается это так: каждая строка матрицы выражается линейно через k выделенных базисных строк. Добавляем их к матрице kxk на нужных местах, чтобы они выражались с теми же коэффициентами. Аналогично поступаем с E, превращая её в матрицу kxn, добавляя к ней столбцы. Это даёт матрицы B и C, которые в произведении дают A.

ссылка

отвечен 14 Сен 2:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×90

задан
13 Сен 17:01

показан
76 раз

обновлен
14 Сен 2:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru