Пусть $%(z_n)$% - последовательность точек $%R^2$%, которая содержит каждую точку с рациональными координатами. Пусть $%(r_n)$% - последовательность положительных действительных чисел, причем $%\sum_nr_n=1$%. Пусть $%S=\cup_n B(z_n,r_n)$% где $%B(z_n,r_n)$% - открытый шар с центром в $%z_n$% и радиусом $%r_n$%.

Доказать, что $%S$% плотно в $%R^2$% и что никакая прямая в $%R^2$% не может целиком содержаться в $%S$%.

задан 13 Сен '17 20:46

10|600 символов нужно символов осталось
0

То, что S плотно на плоскости, очевидно, поскольку уже множество центров шаров плотно: любая точка приближается с заданной точностью точкой с рациональными координатами. По второму свойству: прямая пересекается с шаром радиуса r по отрезку длиной <=2r или по пустому множеству. Поэтому сумма длин таких множеств по всем шарам не больше 2. Ясно, что такие множества не покрывают прямую, поскольку не покрывают даже отрезок длиной > 2.

ссылка

отвечен 13 Сен '17 22:05

Что такое "сумма длин множеств"?

(13 Сен '17 22:34) curl

@curl: речь идёт об отрезках, у каждого из них есть длина. Поэтому можно говорить о сумме длин. Она не больше 2, и тогда мера Лебега объединения также не больше 2. Я думаю, это понятие должно быть уже изучено. Если нет, то можно "кустарно" доказать, что отрезки, сумма длин которых ограничена, не могут покрывать прямую.

(13 Сен '17 22:48) falcao

Мера Лебега не предполагается известной. А как "кустарно" доказать?

(13 Сен '17 22:56) curl

@curl: если мера Лебега не изучена, то я бы такое упражнение вообще не предлагал :) Но если оно всё-таки предложено, то можно рассуждать примерно так. Вместо покрытия прямой отрезками, можно рассматривать покрытие интервалами, у которых суммарная длина чуть увеличилась (первый отрезок погружаем в интервал с увеличением длины на eps/2, второй -- на eps/4 и т.д.). Теперь пусть длинный отрезок покрыт такими интервалами. Он компактен, и оставить можно лишь конечное число элементов покрытия. А для конечного числа по индукции доказывается, что длина покрытого интервала не больше суммы длин.

(14 Сен '17 3:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
13 Сен '17 20:46

показан
232 раза

обновлен
14 Сен '17 3:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru