Изоморфны ли следующие алгебраические системы: 1)<Z, +> и <Z, ·>; 2)<P(A), ∩> и <P(A), ∪>, здесь A — произвольное непустое множество; 3)<Q, +> и <Q+, ·>, здесь Q+ — множество положительных рациональных чисел (сравните с примером 1 к определению изоморфизма); 4)<N, f> и <N, g>, здесь f и g — унарные операции удвоения и утроения?

задан 14 Сен '17 12:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Системы (Z,+) и (Z,*) не изоморфны. В первой из ней уравнение x+x=x имеет ровно одно решение. Тогда во второй системе, если бы она была изоморфной, уравнение x.x=x имело бы столько же решений, но их там два: x=0 и x=1.

Чуть более формально: если f -- изоморфизм второй системы на первую, что из x.x=x вытекает f(x)+f(x)=f(x), то есть f(x)=0. Это верно как для x=0, так и для x=1, откуда f(0)=f(1), то есть нарушена биективность отображения f.

2) Здесь изоморфизм задаётся переходом к дополнению множества. Согласно закону де Моргана, дополнение пересечения есть объединение дополнений, то есть перед нами биекция, сохраняющая операцию, то есть изоморфизм систем.

3) Обе системы -- группы с нейтральными элементами 0 и 1 соответственно. Но первая не изоморфна второй. Действительно, пусть элементу 2 второй системы соответствует элемент a первой системы. Тогда f(2)=a=(a/2)+(a/2). Положим x=f^{-1}(a/2}. Переходя к прообразам, имеем 2=xx, но такое уравнение не имеет решений в Q.

Можно заметить, что если бы вместо Q было R, то подошло бы экспоненциальное отображение x -> exp(x).

4) Построим такое отображение: беря каноническое разложение числа n, меняем местами показатели степеней при 2 и 3. Скажем, 20 перейдёт в 45, число 6 останется на месте, 27 перейдёт в 8. Это биекция, и легко проверить, что f(n)=2n переходит в g(n)=3n. То есть системы изоморфны.

ссылка

отвечен 14 Сен '17 16:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×627
×68

задан
14 Сен '17 12:40

показан
715 раз

обновлен
14 Сен '17 16:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru