Вокруг планеты по одной и той же орбите двигаются одновременно четыре космических аппарата. Они начали движение одновременно из одной точки орбиты (назовем ее точкой старта) и двигались с постоянными скоростями. Известно, что для любых трех космических аппаратов нашелся момент, когда они встретились. Докажите, что найдется момент, когда встретятся все четыре космических аппарата (аппараты были запущены без ограничений по времени).

задан 14 Сен '17 19:10

изменен 14 Сен '17 20:35

что-то подобное недавно про бегунов по стадиону было... или у меня глюк?...

(15 Сен '17 6:45) all_exist

@all_exist: я посмотрел задачи про стадион -- вроде бы, они все какого-то другого содержания.

(15 Сен '17 15:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Это задача, фактически, по теории чисел, а не по геометрии или чему-то ещё. От "физики" тут есть только одно элементарное соображение, разбираемое на уроках в теме "относительность движения". Оно же часто применяется в задачах о пловцах, движущихся эксалаторах и прочем, то есть школьникам оно знакомо. А именно, нужно одного участников объявить "наблюдателем" и рассматривать скорости движения относительно него. Если в качестве "неподвижного" взять самый медленный аппарат, то все будут двигаться в одном и том же направлении, то есть все три относительные скорости будут положительными. Длину орбиты можно считать равной 1, выбирая подходящую единицу измерения.

Рассмотрим два аппарата из трёх оставшихся. Они встретятся с наблюдателем (первым аппаратом) в некий момент t, если за это время оба пройдут целое число кругов. Это значит, что числа vt и wt -- целые (и даже натуральные), где v, w -- (относительные) скорости. Можно заметить, что в этом случае отношение рассматриваемых скоростей рационально, и последнее условие является достаточным. В самом деле, если v/w=m/n, то nv=mw. Полагая t=n/w=m/v, мы имеем vt=m, wt=n, то есть через такой промежуток встретятся данные трое -- первый с каждым из двух рассматриваемых.

Таким образом, если v2, v3, v4 -- относительные скорости трёх аппаратов, то мы знаем, что все три отношения их друг к другу рациональны. Это значит, что они имеют вид v, pv/q, rv/s для некоторых натуральных p,q,r,s. Удобно изменить единицу измерения времени, приняв за неё v/(qs) единиц прежнего времени. Тогда все три относительные скорости станут в новой единице измерения целыми по величине: qs, ps, qr. За эту новую единицу времени, все четверо встретятся, так как каждый пройдёт целое число кругов и окажется на месте "неподвижного" первого.

ссылка

отвечен 14 Сен '17 23:09

@falcao, что-то мне слабовато верится, что от семиклассников могли требовать такое решение.

(14 Сен '17 23:20) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед: суть задачи здесь простая -- она заключается в соизмеримости величин. Приём с неподвижным наблюдателем также вполне элементарен. Постичь это дело нетрудно вообще-то, а трудно только излагать мысли. То есть это теория чисел плюс "литература" :)

По поводу "магии слов" типа "это же задача для первого (второго, etc) класса" я уже писал. Это не объективные признаки задачи, а что-то совершенно "левое". Минимальное требование -- это чтобы решение можно было так оформить, что там нет незнакомых для школьника слов типа "интеграл" или "циркумполярная элоквентность" (с) :)

(14 Сен '17 23:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×309

задан
14 Сен '17 19:10

показан
629 раз

обновлен
15 Сен '17 15:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru