Пусть G - ненулевая аддитивная группа, состоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом ограниченном промежутке содержится лишь конечное число её элементов. Доказать, что G изоморфна Z.

Рассуждаю так. (Z, +) - циклична. Тогда и (G, +) должна быть цикличной. Тогда в ней не может быть элементов: 1/3 и 1/2 одновременно( как пример). И по идеи в ней и не должно быть такого в силу ограниченности любого промежутка. Но как это доказать не знаю :(

задан 14 Сен '17 19:33

изменен 17 Сен '17 5:13

Докажите, что в такой группе есть наименьший положительный элемент и отобразите его в единицу группы целых чисел.

(14 Сен '17 20:29) Амфибрахий

@Амфибрахий, хорошо, это несложно доказать, а что дальше?

(15 Сен '17 4:53) dmin

@dmin: понятно, что наибольшего элемента нет, если подгруппа ненулевая. Тогда для каждого элемента найдутся большие. Среди них есть наименьший в силу условия конечности. Разность большего и меньшего принадлежит подгруппе. Она и будет наименьшим положительным элементом d. Тогда подгруппа состоит из чисел ...,-2d,-d,0,d,2d,3d,..., то есть она бесконечная циклическая с образующими d.

P.S. Кстати говоря, 1/3 и 1/2 могут быть одновременно -- скажем, при d=1/6. И надо исправить опечатку в заголовке: должно быть изоМорФизм.

(15 Сен '17 9:30) falcao

@falcao не совсем понял доказательство. Разность какого большего и какого меньшего? А у нас не могут быть в группе G одновременно элементы корень из 2 и корень из 3? Тогда должна же нарушится конечность любого промежутка, но почему?

(17 Сен '17 5:13) dmin

@dmin: для каждого элемента x есть больший, а среди них имеется наименьший в силу условий конечности. Пусть это y. Тогда под разностью большего и меньшего я понимаю y-x.

Элементы sqrt(2) и sqrt(3) в подгруппе одновременно находиться не могут (как и любые несоизмеримые). Это нарушило бы то условие конечности, которое здесь дано. Для решения данной задачи это проверять не нужно, а сам по себе факт верен в силу леммы о том, что множество чисел вида {an} (дробные части) плотно на единичной окружности при иррациональном a. Это легко вывести из принципа Дирихле.

(17 Сен '17 10:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,518
×1,019

задан
14 Сен '17 19:33

показан
1247 раз

обновлен
17 Сен '17 10:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru