уравнения - Найти все пары (a;b)

(1;1),(16,2),(27,3) попробую найти общее решение.

Нашла решение! Но чтобы оно не было очень длинным, воспользуемся 3-мя утверждениями, доказательство которых не сложно(1-й легко доказать от противного, 2-й и 3-й с помощью мат. индукции)

1. Доказать что при каждой рациональной q(q>0) и натуральной а ,если $%a^q$% рациональное,то $%a^q$% натуральное.

2. $%2^{n-2}>n,$% при каждой натуральной $%n\ge5$%.

3. $%2^{2n-1}>n,$% при каждой натуральной $%n.$%

Решение. Очевидно, что при $%a=1,$% следует $% b=1,$% и наоборот. Так что пара $%(1,1)$% решение уравнения. Остается решить задачу при условии $% a>1$% и $%b>1$%. Обозначим $% m=\frac{a}{b^2}.$%

$% m $% положительное рациональное число и $%a=b^2m$%. Тогда уравнение примет вид $% mb^2=b^m $% (1)

-$% m=2$% не удовлетворяет уравнению (1)

• если $% m>2$% , тогда из уравнения (1) следует $% m=b^{m-2}$%. Отсюда $%a=b^m$%.Так-как $% m>2 $% рациональное число, то $% b^{m-2}$% тоже рациональное и согласно утвеждению 1. получаем что число $% b^{m-2}$% и значит также и число $% m$%-натуральное. Так-как $% b>1$% , то согласно утверждения 2. имеем $% b^{m-2}\ge2^{m-2}>m $% при $% m>4.$% Значит $%m $% принадлежит промежутку $%(2;5),$% отсюда получем еще две решения уравнения. При $% m=3$% ,получаем $% b=3$% и $%a=3^3=27$%-пара( 27,3),а при m=4 получаем $%b^2=4$%, значит b=2 и $% a=2^4=16-пара( 16,2)$%.
• если 0<m<2 тогда из уравнения (1) следует $%b^{2-m}=1/m.$%

Так-как $% \frac{1}{m}$% рациональное число, то $% b^{2-m}$% тоже рациональное и согласно утвеждению 1. получаем, что число $% b^{2-m}$% и значит также и число $%\frac{1}{m}$% натуральное. Введем еще одно обозначение- натуральное число $% n=\frac{1}{m}$%. Тогда $% a=\frac{b^2}{n},$% отсюда $% an=b^2 $% и $% b=(an)^{1/2}.$% Исходное уравнение примет вид- $% a^{an}=(an)^{a/2}.$% Отсюда легко получить $% a^{2n}=an$% , и наконец $% a^{2n-1}=n$% . Так-как $% a^{2n-1}\ge 2^{2n-1}>n $% при каждой натуральной n, в последней случае(при $% 0<m<2$% ) уравнение не имеет решениий. И так исходному уравнению удовлетворяют только три пары натуральнйх чисел- $% (1;1),(16,2),(27,3)$%.