Доказать, что сходящаяся последовательность достигает хотя бы одной из своих точных граней -верхней или нижней .

задан 14 Сен '17 22:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если последовательность не постоянна (для постоянной все ясно), то в ней есть член t, не равный ее пределу. Рассмотрим эпсилон меньше расстояния от этого члена до предела, вне эпсилон-окрестности предела с таким эпсилон лежит лишь конечное число членов последовательности. Если член t меньше предела, то точной нижней гранью будет минимальный из членов, не попавших в выбранную эпсилон-окрестность предела, если же член t больше предела, то точной верхней гранью будет максимальный из членов, не попавших в выбранную эпсилон-окрестность предела.

ссылка

отвечен 14 Сен '17 22:57

А я не понял, как мы в итоге доказали , что последовательность достигает хотя бы одной из своих точных граней

(14 Сен '17 23:49) DaIvNi

@DaIvNi: а что именно непонятно? Либо t больше предела, либо меньше. В первом случае достижима т.в.г., так как она >=t, и членов с таким свойством конечное число. А если t меньше предела, то аналогично достижима т.н.г. В ответе всё изложено подробно и в деталях.

(15 Сен '17 0:06) falcao

@DaIvNi, посмотрите типовое доказательство теоремы об ограниченности сходящейся последовательности... может тогда понятнее будет, что написано в ответе @Амфибрахий ...

(15 Сен '17 6:40) all_exist

А как из последнего предложения следует то, что нам нужно доказать?

(15 Сен '17 16:11) DaIvNi

@DaIvNi: несколько странная ситуация получается. Изложено доказательство, и Вы просить доказать, что доказательство является доказательством :)

Тут рассмотрено два случая, один из которых точно имеет место. В первом случае доказано, что последовательность достигает т.н.г. Во втором доказано, что она достигает т.в.г. Значит, можно утверждать, что она достигает или т.н.г., или т.в.г. В условии задачи именно это и требовалось.

(15 Сен '17 16:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Наверное пригодно ещё рассуждение от противного... Что-то типа такого...

Пусть $%a < b$% - инфинум и супремум соответственно...
Предположим, что они не достигаются... тогда в любой полуокрестности есть элементы последовательности... то есть можно выбрать две подпоследовательности, которые имеют разные пределы, что противоречит сходимости...

ссылка

отвечен 15 Сен '17 7:02

Да, так даже несколько яснее -- если inf не достигается, то это предельная точка, и то же для sup.

(15 Сен '17 9:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
14 Сен '17 22:34

показан
2163 раза

обновлен
15 Сен '17 16:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru