alt text

задан 15 Сен '17 19:14

изменен 16 Сен '17 0:15

10|600 символов нужно символов осталось
2

В полных метрических пространствах предкомпактность множества означает, что оно вполне ограничено, то есть существует конечная $%\varepsilon$%-сеть для любого положительного числа. Заметим, что в случае отрицательного ответа, полнота пространства роли не играет.

Для пространств $%l_p$% при $%p\ge1$% имеется явный критерий предкомпактности -- см. здесь на стр. 7 пункт 2. Применительно к нашему случаю, для любого $%\varepsilon > 0$% должен существовать такой номер $%n_0$%, что сумма ряда $%|x_{n_0}|+|x_{n_0+1}|+\cdots$% будет меньше $%\varepsilon$% для всех последовательностей из нашего множества.

Заметим, что константу 1 в правой части неравенства можно заменить на любую другую положительную. Поэтому будем считать, что там находится некое $%C$%, значение которого далее уточним.

Для каждого $%a > 1$% рассмотрим последовательности, для которых $%x_n^{-1}=n\ln n\ln\ln n\ldots\ln^a\ln\ldots\ln n$%, где кратность логарифмов может быть любой. При этом рассматриваются только те $%n$%, для которых значение в правой части положительно, а остальные члены считаются нулевыми.

Все такие ряды из $%x_n$% сходятся по интегральному признаку, то есть получаются последовательности из $%l_1$%. При этом $%nx_n^2$% обратна величине $%n\ln n\ln\ln n\ldots\ln^{2a}\ln\ldots\ln n$%. Все такие ряды также сходятся, и их суммы ограничены в совокупности некоторой константой $%C$%. Действительно, все они не превосходят суммы ряда с общим членом $%\frac1{n\ln^2n}$% при $%n\ge2$%, и значение его суммы и есть $%C$%.

Оценим снизу остатки для рядов вида $%x_{n_0}+x_{n_0+1}+\cdots$%, и проверим, что они не могут быть равномерно малы. Общий член монотонно стремится к нулю, и получается оценка снизу в виде несобственного интеграла от функции $%\frac1{t\ln t\ln\ln t\ldots\ln^a\ln\ldots\ln t}$% в пределах от $%n_0+1$% до бесконечности.

Делая соответствующие замены в интеграле, приходим к выражению $%\frac{dz}{z^a}$%, где $%z$% есть кратный логарифм вида $%\ln\ln\ldots\ln t$%. Первообразная равна $%\frac{z^{1-a}}{1-a}$%. Разность значений первообразной в бесконечности и в точке $%t=n_0+1$% равна $%\frac1{a-1}(\ln\ln\ldots\ln(n_0+1))^{1-a}$%.

Осталось выбрать количество логарифмов таким образом, чтобы величина, возводимая в степень, стала меньше 1 (пока это не так, добавляем ещё один логарифм). Далее устремляем $%a$% к 1 справа, и видим, что величина нижней оценки стремится к бесконечности.

ссылка

отвечен 16 Сен '17 2:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×417

задан
15 Сен '17 19:14

показан
296 раз

обновлен
16 Сен '17 2:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru