Построить полное метрическое пространство M и f:M->M : для любого х не равного у p(f(x),f(y))<p(x,y), но не существует х :f(x)=x

задан 15 Сен '17 22:14

изменен 15 Сен '17 22:14

10|600 символов нужно символов осталось
0

В качестве $%M$% возьмём обычную числовую прямую. Функцию $%f(x)$% подберём так, чтобы она не пересекала прямую $%y=x$% и лежала выше неё. Проведём прямые $%y=0$% и $%y=x$%. Представим себе ветвь гиперболы с этими двумя асимптотами. Если взять хорду такой кривой, то её угловой коэффициент будет, судя по всему, меньше 1, а это как раз то, что нужно.

Рассмотрим уравнение $%y(y-x)=\frac14$%. Если бы справа был ноль, мы получили бы две пересекающиеся прямые, а здесь будет гипербола. Нам нужна её ветвь $%y=f(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}2$%.

Проверим формально, что эта функция подходит. Берём два числа $%a < b$%. Тогда $%f(b)-f(a)=\frac{b-a}2+\frac{\sqrt{b^2+1}-\sqrt{a^2+1}}2$%. Второе слагаемое запишем в виде $%\frac{(b-a)(b+a)}{2(\sqrt{b^2+1}+\sqrt{a^2+1})}$%. Его модуль не превосходит $%\frac{b-a}2\cdot\frac{|b|+|a|}{\sqrt{b^2+1}+\sqrt{a^2+1}} < \frac{b-a}2$% ввиду неравенства $%\sqrt{b^2+1}+\sqrt{a^2+1} > |b|+|a|$%. Отсюда следует, что величина $%f(b)-f(a)$% положительна, и она всюду строго меньше $%b-a$%.

Это даёт требуемый пример: ясно, что $%f(x) > x$% для всех чисел.

ссылка

отвечен 15 Сен '17 23:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×643

задан
15 Сен '17 22:14

показан
214 раз

обновлен
15 Сен '17 23:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru