Доказать, что если $$(a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2),$$ то $$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}$$

задан 16 Сен '17 14:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Формулировка несколько неаккуратная, так как может оказаться, что на $%a_1$%, $%a_2$% делить нельзя (например, если все числа равны нулю).

Здесь напрашивается геометрическое решение. Рассмотрим двумерные векторы $%a=(a_1,a_2)$% и $%b=(b_1,b_2)$% на координатной плоскости. Тогда квадраты их длин равны $%|a|^2=a_1^2+a_2^2$% и $%|b|^2=b_1^2+b_2^2$% соответственно.

Число $%a_1a_2+b_1b_2$% равно скалярному произведению векторов, то есть $%a\cdot b=|a|\cdot|b|\cdot\cos\phi$%, где $%\phi$% -- угол между векторами. Условие задачи принимает вид $%|a|^2|b|^2\cos^2\phi=|a|^2|b|^2$%. Из этого следует, что $%|a|=0$%, или $%|b|=0$%, или $%\cos^2\phi=1$%. Последнее равносильно тому, что $%\sin\phi=0$%, то есть $%\phi$% равно $%0$% или $%\pi$%, и векторы пропорциональны (коллинеарны).

Это критерий того, чтобы было выполнено равенство из условия задачи. Если дано, что $%a_1\ne0$%, $%a_2\ne0$%, то условие пропорциональности векторов записывается как $%\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}$%.

ссылка

отвечен 16 Сен '17 14:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
16 Сен '17 14:08

показан
175 раз

обновлен
16 Сен '17 14:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru