Доказать, что если $%𝒌−$% натуральное число, то $$𝟏^𝟐+𝟑^𝟐+⋯+(𝟐𝒌−𝟏)^𝟐=\frac{𝒌(𝟐𝒌−𝟏)(𝟐𝒌+𝟏)}{3}$$

задан 16 Сен '17 16:14

изменен 16 Сен '17 18:30

cartesius's gravatar image


9.7k212

@s1mka, можно разными способами доказывать. Например, индукцией. Или использовать преобразование Абеля. Если считать известной формулу для суммы $%S(k)=1^2+2^2+\ldots+k^2$%, то это $%S(2k)-4S(k)$%.

(16 Сен '17 18:35) cartesius

@cartesius какдоказать с помощью индукции?

(16 Сен '17 18:37) s1mka

@s1mka: доказывать такие вещи по индукции учат в самом начале первого семестра (а нас вообще учили в школе, в 9-м классе). Почитайте, как это делается, хотя бы в брошюре Соминского "Метод математической индукции".

(16 Сен '17 20:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

База индукции: при $%k=1$% выражение верно - легко проверяется. Пусть верно выражение для $%k=n$%: $$1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$ Докажем, что оно верно и для $%k=n+1$%, т.е. выполнено равенство $$1^2+3^2+\ldots+(2(n+1)-1)^2=\frac{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3}$$ (в предположении, что выполнено предыдущее).

$$1^2+3^2+\ldots+(2(n+1)-1)^2=1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2+(2(n+1)-1)^2=$$ $$=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+(2(n+1)-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+(2n+1)^2=$$ $$=\frac{n(2n-1)(2n+1)+3(2n+1)^2}{3}=\frac{(2n+1)(n(2n-1)+3(2n+1))}{3}=$$ $$=\frac{(2n+1)(2n^2+5n+3)}{3}=\frac{(2n+1)(n+1)(2n+3)}{3},$$ что и требовалось. Следовательно, согласно методу математической индукции утверждение верно для произвольных натуральных $%k$%.

ссылка

отвечен 16 Сен '17 21:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,517

задан
16 Сен '17 16:14

показан
241 раз

обновлен
16 Сен '17 21:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru