Как измениться определитель, если к каждому столбцу (со второго) прибавлять предыдущий, а к неравному прибавить последний первоначальный столбец. Прикинул примеры и получил, что если нечетного порядка определитель, то он удваивается, если четного, то становится равным 0. Но как доказать не понимаю. Прошу помощи

задан 17 Сен '17 15:56

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%A_i$% - $%i$%-й столбец матрицы, т.е. $$A=\begin{pmatrix}A_1 & A_2 & \ldots & A_n\end{pmatrix}.$$

По условию требуется найти $$\begin{vmatrix}A_n+A_1 & A_1+A_2 & \ldots & A_{n-1}+A_n\end{vmatrix}.$$

По одному из свойств определителя (разложение в сумму по первому столбцу) $$\begin{vmatrix}A_n+A_1 & A_1+A_2 & \ldots & A_{n-1}+A_n\end{vmatrix}=$$ $$=\begin{vmatrix}A_n & A_1+A_2 & \ldots & A_{n-1}+A_n\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A_1 & A_1+A_2 & \ldots & A_{n-1}+A_n\end{vmatrix}.$$

Далее, определитель не меняется, если к одному из столбцов добавить/вычесть другой, поэтому $$\begin{vmatrix}A_n & A_1+A_2 & \ldots & A_{n-1}+A_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_n & A_1 & \ldots & A_{n-1}\end{vmatrix}=$$ $$=(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}A_1 & A_2 & \ldots & A_n\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}|A|$$ и $$\begin{vmatrix}A_1 & A_1+A_2 & \ldots & A_{n-1}+A_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_1 & A_2 & \ldots & A_n\end{vmatrix}=|A|.$$

Поэтому искомый определитель равен $%((-1)^{n-1}+1)|A|$%.

ссылка

отвечен 17 Сен '17 16:38

изменен 17 Сен '17 16:39

@cartesius спасибо за Ваш ответ! Все понял, кроме равенства после слов «далее, определитель не меняется...», суть свойства понимаю, но почему таке равенство возникает?

(17 Сен '17 16:52) Артемон

@Артемон: там сначала превратили последнее число в A_{n-1} при помощи A_n. Далее с его помощью предпоследнее число превратили в A_{n-2}, и так по цепочке.

В условии у Вас, по-моему, есть опечатка: написано "неравному" вместо "первому".

(17 Сен '17 17:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378
×98

задан
17 Сен '17 15:56

показан
520 раз

обновлен
17 Сен '17 17:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru