Доказать, что $%\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{z^3-n^3}$% сходится локально равномерно (для каждой точки существует диск, в котором ряд сходится равномерно) вне нулей знаменателя.

$%\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{z^3-n^3}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^3-n^3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z^3+n^3}=:A+B$%

Надо показать, что $%A$% и $%B$% сходятся локально равномерно. Я так понимаю, сходимость для обоих рядов доказывается одним шагом (?).. Для применение признкака Вейерштрасса надо вот что: $%\forall n\ge N \forall z\in \{|z-z_0|< d\}$% верно $%\frac{1}{|z^3\pm n^3|}\le \frac{1}{|n|^3-c}$%, т.е. $%|z^3\pm n^3|\ge |n|^3-c$%. Как увидеть, что это верно?

задан 17 Сен '17 18:57

изменен 20 Сен '17 20:09

@Slater: это обычное неравенство треугольника, из которого следует |a-b|>=|a|-|b|. Модули значений z ограничены константой, так как всё локально. Значение константы равно (|z0|+d)^3.

(20 Сен '17 21:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если точка $%z_0$% не является целым числом, то обозначим через 2d расстояние до ближайшего к ней целого числа, тогда в круге радиуса d с центром в этой точке члены ряда , за возможным исключением конечного их числа, мажорируются членами сходящегося ряда $% \frac1{|n|^3-c}$% c фиксированным с, что доказывает равномерную сходимость ряда по признаку Веййерштрасса.

ссылка

отвечен 19 Сен '17 19:45

Спасибо, добавил вопрос в оригинальный текст..

(20 Сен '17 20:09) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
17 Сен '17 18:57

показан
209 раз

обновлен
20 Сен '17 21:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru