Пусть ряд $%\sum_{k=1}^\infty|r_k|^{-2}$% сходится. Доказать, что $%\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z}{r_k})\exp{\frac{z}{r_k}}$% сходится к целой функции, нули которой расположены в точности в точках $%r_k$%. Указание: сначала доказать, что для $%|z| <1$% верно $%|1-(1-z)\exp{z}|\le |z|^2$%

Вот частный случай доказательства для $%r_k=k$%, но как это обобщить на любое $%r_k$%?

alt text

задан 17 Сен '17 19:12

изменен 20 Сен '17 20:46

Здесь, наверное, множитель берётся 1-z/r_k -- чтобы получились нули при z=r_k.

(17 Сен '17 22:24) falcao

В условии 1-1/r_k, но видимо это опечатка. В условии как сейчас нулей же нет вообще?

(17 Сен '17 23:06) Slater

@Slater: сейчас новая опечатка: z_k написано вместо z.

(18 Сен '17 23:56) falcao

Я так понимаю, указанное доказательство обобщается, если $%|r_k|> 2R$% для начиная с некоторого места, но почему это верно?

(20 Сен '17 21:06) Slater

@Slater: тут ряд из величин |r_k|{-2} должен сходиться, поэтому условие |r_k| > 2R не выглядит достаточным.

(20 Сен '17 21:56) falcao

И ряд тоже должен сходиться, конечно (но это понадобится позднее). Я имею в виду, что аналог строчки над (12.7) будет иметь место (по моему разумению), если |r_k|>2R

(Аналог выглядит так: |z/r_n|<1 при больших n)

(20 Сен '17 21:58) Slater
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
17 Сен '17 19:12

показан
303 раза

обновлен
20 Сен '17 22:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru