Найти голоморфную функцию, отображающую единичный диск на всю комплексную плоскость. Может ли такая функция быть рациональной? Инъективной?

Была идея рассмотреть композицию $%z\mapsto z/(1-z)=w$%, $%w\mapsto w^2$%. Это рациональная функция. Образ диска при первом отображении $%Re z >-1/2$%. При втором в теории должна получиться комплексная плоскость без отрезка $%(-\infty,-1/2)$%, т.к. предыдущее неравенство нестрогое, но такое ощущение, что получается вся комплексная плоскость, т.к., например, значение -1 достигается при $%z=1/2+i/2$%.

Про инъективность тоже пока неясно.

задан 17 Сен '17 19:37

изменен 17 Сен '17 23:10

При возведении в квадрат уже Im z>=0 отображается на всю плоскость, что видно геометрически. Так как z->z^2 не биекция, метод прослеживания образа границы ничего не даёт.

(17 Сен '17 22:45) falcao

Я Im с Re перепутал, сейчас исправил. Если аргумент меняется (-pi/2,pi/2), то при возведении в квадрат будет меняться (-pi,pi), т.е. точки с аргументом равным pi не должны получаться.. Разве не так? (Но они получаются - например, -1)

(17 Сен '17 23:12) Slater

По крайней мере в книжках написано, что z\mapsto z^2 отображает правую полуплоскость с границей без отрезка (-\infty, 0) на мнимой оси на всю комплексную плоскость, и из доказательства следует, что правую полуплоскость без границы z\mapsto z^2 отобразит в комплексную плоскость без (-infty, 0] на вещественной оси.

Но если все-таки это не так и z/(1-z) отображает диск сюръективно на комплексную плоскость, то, получается, такая рациональная функция (из условия) существует?

(18 Сен '17 18:29) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если бы нужное рац. отображение было, то все точки единичной окружности должны были бы перейти в бесконечность, но у рац. функции не может быть бесконечного числа полюсов.

Поправляю ответ: я невнимательно прочел вопрос и в своем ответе размышлял о конформном изоморфизме. Если же речь идет просто о голоморфном отображении, то все просто: сначала стандартно отобразим ед. круг на верхнюю полуплоскость, затем сдвинем образ на $%i$% вниз, а потом возведем это отображение в квадрат, и все. Про инъективность: если бы искомое голоморфное отображение было инъективным, то оно как раз было бы биголоморфным, т.е. конформным изоморфизмом круга на всю плоскость. А так не бывает, поскольку иначе обратное отображение оказалось бы непостоянной ограниченной целой функцией.

ссылка

отвечен 18 Сен '17 21:09

изменен 19 Сен '17 15:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×482

задан
17 Сен '17 19:37

показан
259 раз

обновлен
19 Сен '17 15:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru