Добрый день, пытаюсь разобраться, конкретного примера в руках нет, но вот возник вопрос по порядку отыскания формы. Правильно-ли я понимаю, что для нахождения формы необходимо:

1.) написать характеристический многочлен матрицы

2.) раскрыть его (то-есть найти определитель)

3.) решить получившееся уравнение, тем самым отыскав собственные значения

4.) для каждого собственного значения отыскать собственные вектора

5.) для отыскания Жордановой формы воспользоваться следующей формулой: $$B=P^{-1}\cdot A\cdot P$$

где $%B$% - искомая матрица,
$%P$% - матрица состоящая из собственных векторов (найденных),
$%P^{-1}$% - обратная к $%P$% матрица,
$%A$% - матрица заданная изначально.

Теперь самый сложный для меня в понимании момент:

Предположим, дана матрица $%4\times 4$%, нашелся характеристический многочлен $%(\lambda -3)^3(\lambda-2) - 0$% корни $%\lambda_1=3$% и $%\lambda_2 = 2$% для значения $%\lambda_1$% нашлось 2 собственных вектора, правильно-ли я понимаю, что количество собственных векторов должно совпадать с кратностью собственного значения? и если так не происходит, то надо искать [b]присоединенный[/b] вектор (или вектора), дабы "добрать" до кратности (в данном случае для $%\lambda_1$% надо найти один присоединенный вектор, потому, что 2 уже есть).

Правильно-ли я понимаю, что для отыскания вектора (в заданном мной случае), надо решить систему уравнений $%(A-3I)v_3 = v_2$%, где $%v_2$% - столбец свободных членов состоящий из второго собственного вектора, который уже известен

задан 17 Сен '17 20:09

изменен 17 Сен '17 20:37

all_exist's gravatar image


41.0k212

надо решить систему уравнений - да...

столбец свободных членов состоящий из второго собственного вектора, который уже известен - там должна стоять линейная комбинация двух найденных собственных векторов, найденных для $%\lambda = 3$%... то есть $%(A-3E)h = \alpha_1 H_1 +\alpha_2 H_2$%... и ищите $%\alpha_1,\alpha_2$% чтобы система была совместна...

(17 Сен '17 20:34) all_exist

@all_exist, я прав, что надо "дополнять" до соответствующей кратности, присоединенными векторами, если собственных векторов собственного значения не хватает? к примеру вектора нашли 2, а кратность 3, надо искать один присоединенный и тд

(17 Сен '17 20:38) jOSEPH

@all_exist, и еще один немаловажный вопрос, правильно-ли я описал компоненты формулы для отыскания Жордановой формы

(17 Сен '17 20:46) jOSEPH

$%P$% - матрица состоящая из собственных векторов - и присоединённых...

к примеру вектора нашли 2, а кратность 3, надо искать один присоединенный и тд - разумеется...

(17 Сен '17 21:01) all_exist

правильно-ли я описал компоненты формулы для отыскания Жордановой формы - когда напишите все матрицы, то умножьте их и проверьте результат...

(17 Сен '17 21:03) all_exist

@all_exist, да, по поводу матрицы $P$ я это именно и держал в голове (тот факт, что она должна состоять и из присоединенных и из собственных).

Еще две ремарки:

1.) значит собственно мое утверждение, что количество векторов для определенного собственного значения должно соответствовать кратность значения в характеристическом многочлене верно? (мол кратность 4, вектора нашли 2, ищите еще 2 присоединенных, чтоб в сумме было 4)

2.) по поводу линейной комбинации в столбце свободных членов, читал вот эту всем известную методичку http://math.phys.msu.ru/data/25/JF.p

(17 Сен '17 21:16) jOSEPH

@all_exist, там я как понял они описывают так, есть у тебя собственный вектор, ищи некоторый присоединенный опираясь на "последний" найденный (он в столбце свободных членов), потом по цепочке так просто "поднимайся" (формулы на странице 3-4)

(17 Сен '17 21:19) jOSEPH

(мол кратность 4, вектора нашли 2, ищите еще 2 присоединенных, чтоб в сумме было 4) - ну, тапа того...

опираясь на "последний" найденный - есть разные алгоритмы... я привык "по-деревенски"...

Например, если есть СЗ кратности 4, а СВ только два, то нет никакой уверенности, что выписаны именно те $%H_1$% и $%H_2$%, для которых присоединённые есть... Поэтому и рассматривают линейную комбинацию... а там возможные варианты:

(17 Сен '17 21:40) all_exist

1) найдётся две комбинации $%G_1=\alpha_{11}H_1+\alpha_{21}H_2$% и $%G_2=\alpha_{12}H_1+\alpha_{22}H_2$%, для которых система совместна... то есть существуют присоединённые - $%h_1, h_2$% соответственно... тогда из векторов $%G_1; h_1; G_2; h_2$%выписывают матрицу перехода...

2) найдётся одна комбинация $%G_1=\alpha_1H_1+\alpha_2H_2$%, для которой система совместна... то есть существуют один присоединённый вектор - $%h$%... тогда ищем присоединённый к присоединённому - вектор $%h_o$%... а матрицу перехода выписывают из векторов $%H_1; G_1; h; h_o$%...

(17 Сен '17 21:45) all_exist
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,121
×353
×27
×12

задан
17 Сен '17 20:09

показан
702 раза

обновлен
17 Сен '17 21:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru